Questão 179 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver, precisamos identificar a propriedade que liga o número da linha à soma dos números que ela contém. Descoberta a regra, conseguimos prever a soma de qualquer linha futura.

Reconhecendo o Padrão

O esquema mostra as caixas dispostas em um triângulo em que cada linha $n$ cresce de $1$ até $n$ e depois decresce de volta até $1$. Admitindo esse padrão, as primeiras linhas são:

• Linha $1$: $1$ → soma $= 1$.
• Linha $2$: $1 + 2 + 1$ → soma $= 4$.
• Linha $3$: $1 + 2 + 3 + 2 + 1$ → soma $= 9$.
• Linha $4$: $1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1$ → soma $= 16$.

Encontrando a Propriedade

Organizando os resultados, relacionamos o número da linha ($n$) com a soma:

• Para $n = 1$, soma $= 1 = 1^2$.
• Para $n = 2$, soma $= 4 = 2^2$.
• Para $n = 3$, soma $= 9 = 3^2$.
• Para $n = 4$, soma $= 16 = 4^2$.

Fica claro que a soma dos números de uma linha $n$ é sempre igual a $n^2$ — a sequência dos quadrados perfeitos. Essa é a propriedade que Ronaldo percebeu.

Aplicando para a 9ª Linha

Com a regra em mãos, não é preciso escrever e somar todos os números da $9^{\text{a}}$ linha. Basta aplicar $n = 9$: $\text{Soma} = 9^2 = 9 \times 9 = 81$

Portanto, a soma dos números da $9^{\text{a}}$ linha será 81, o que corresponde à alternativa D.