Questão 146 do ENEM 2011 — Matemática

A questão pede para determinarmos a escala de um mapa, conhecendo a distância real entre duas cidades e a distância correspondente medida no mapa.

Para resolver esse problema, precisamos lembrar o que é uma escala cartográfica. A escala é a razão entre a distância no mapa ($d$) e a distância real ($D$), ambas na mesma unidade de medida. Matematicamente, expressamos a escala ($E$) como: $E = \frac{d}{D}$

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

• Distância no mapa ($d$): $8 \text{ cm}$
• Distância real ($D$): $2\,000 \text{ km}$

O primeiro passo é garantir que ambas as medidas estejam na mesma unidade. Como a escala geralmente é representada relacionando centímetros no mapa com centímetros na realidade, vamos converter a distância real de quilômetros para centímetros.

Sabemos que:

• $1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m}$
• $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$

Portanto, para converter de quilômetros para centímetros, multiplicamos por $100\,000$ (ou seja, acrescentamos cinco zeros): $1 \text{ km} = 100\,000 \text{ cm}$

Aplicando isso à nossa distância real: $D = 2\,000 \text{ km} \times 100\,000 \frac{\text{cm}}{\text{km}}$ $D = 200\,000\,000 \text{ cm}$

Agora que temos ambas as distâncias em centímetros, podemos calcular a escala substituindo os valores na fórmula: $E = \frac{8 \text{ cm}}{200\,000\,000 \text{ cm}}$

Para encontrar a escala no formato padrão $1 : x$, precisamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por $8$: $E = \frac{8 \div 8}{200\,000\,000 \div 8}$ $E = \frac{1}{25\,000\,000}$

Isso significa que $1 \text{ cm}$ no mapa representa $25\,000\,000 \text{ cm}$ na realidade. Portanto, a escala do mapa é de $1 : 25\,000\,000$.

Analisando as alternativas, chegamos à conclusão de que a resposta correta é a alternativa E.