Questão 160 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolver esta questão, vamos trabalhar com a configuração descrita no enunciado, sem depender de leituras adicionais da figura.

Montando o triângulo

O percurso é uma semicircunferência de centro $F$ e raio $R$. Pela configuração da pista, os pontos $L$ e $C$ estão sobre o diâmetro, e o atleta ocupa um ponto $A$ sobre o arco. Como $F$ é o centro e $A$ está na semicircunferência, o segmento $AF$ é um raio; do mesmo modo, $FC$ também é um raio. Logo:

• $AF = R$
• $FC = R$

O ângulo $\theta$ é justamente o ângulo $\angle AFC$, com vértice no centro $F$.

Aplicando a condição do enunciado

O comando pede o valor de $\theta$ no instante em que o segmento $AC$ mede $R$. Nesse momento, o triângulo $AFC$ tem os três lados iguais:

• $AF = R$
• $FC = R$
• $AC = R$

Um triângulo com os três lados iguais é um triângulo equilátero. E uma propriedade fundamental dos triângulos equiláteros é que todos os seus ângulos internos medem $60^\circ$.

Como $\theta = \angle AFC$ é um dos ângulos internos desse triângulo, temos:

$\theta = 60^\circ$

Conclusão

O ângulo $\theta$ mede $60^\circ$, o que corresponde à alternativa C.