Questão 136 do ENEM 2011 — Matemática

O objetivo é calcular a distância total que Carlos percorre ao caminhar por toda a trilha, somando os comprimentos de todos os segmentos do percurso.

Começamos analisando a sequência formada por esses comprimentos. O enunciado informa que o primeiro segmento, $AB$, mede $11 \text{ m}$, e que cada segmento seguinte tem $1 \text{ m}$ a menos que o anterior. Logo, os comprimentos formam uma Progressão Aritmética (PA) decrescente, com primeiro termo $a_1 = 11$ e razão $r = -1$.

Como cada trecho diminui $1 \text{ m}$ e a trilha é um caminho em espiral que se fecha, o percurso termina quando o segmento chega ao menor comprimento possível, $1 \text{ m}$. Assim, os comprimentos vão de $11 \text{ m}$ até $1 \text{ m}$, de metro em metro: $11,\ 10,\ 9,\ 8,\ 7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1.$

Isso corresponde a $11$ segmentos ($n = 11$). Podemos confirmar o último termo pela fórmula do termo geral: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$ $a_{11} = 11 + (11 - 1) \cdot (-1) = 11 - 10 = 1 \text{ m}.$

A distância total é a soma dos $11$ termos dessa PA. Usamos a fórmula da soma: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ $S_{11} = \frac{(11 + 1) \cdot 11}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 6 \cdot 11 = 66 \text{ m}.$

Portanto, ao percorrer toda a trilha, Carlos terá caminhado $66 \text{ metros}$.