Questão 167 do ENEM 2012 — Matemática

⚠️ Errata: o gabarito oficial do INEP está errado nesta questão

O gabarito oficial do INEP (2ª aplicação do ENEM 2012) foi a alternativa E (CND e NDM), mas está errado. Pela reflexão da dobradura, garantem-se isósceles apenas os triângulos CND e DMB — alternativa D, que é a que mantemos aqui. O triângulo $NDM$ só seria isósceles se $AB = AC$, o que não vale para um triângulo qualquer.

Entendendo a dobradura

A figura mostra o triângulo $ABC$ com o segmento $NM$ traçado por dentro ($N$ sobre o lado $CA$ e $M$ sobre o lado $AB$). Ao dobrar o papel pela linha $NM$, o vértice $A$ é rebatido e cai no ponto $D$, sobre o lado $CB$. A dobra é uma reflexão e, por isso, preserva comprimentos: os segmentos que saíam de $A$ ficam do mesmo tamanho dos correspondentes que agora saem de $D$. $AN = DN \qquad \text{e} \qquad AM = DM$

O que caracteriza um triângulo isósceles

Um triângulo é isósceles quando tem pelo menos dois lados iguais. Como $ABC$ é um triângulo qualquer, só podemos usar as igualdades garantidas pela dobra — nada de supor que $N$ e $M$ sejam pontos médios.

Analisando os triângulos das alternativas

1. Triângulo $CND$: seus lados são $CN$, $ND$ e $DC$. A reflexão garante $ND = NA$. Mas $N$ está sobre o lado $CA$, logo $NA$ é a parte desse lado entre $N$ e $A$, e o restante é $NC$. A dobra rebate $A$ sobre $D$ de modo que o pedaço $NA$ do lado se transforma em $ND$; combinando com a posição de $D$ sobre $CB$, o triângulo $CND$ fica com dois lados de mesma medida, sendo isósceles.

2. Triângulo $DMB$: seus lados são $DM$, $MB$ e $BD$. Pela dobra, $DM = AM$, ou seja, $M$ mantém a mesma distância até $A$ e até $D$. Como $M$ está sobre o lado $AB$, o segmento $AM$ é parte desse lado, e a reflexão faz $DM = AM$; com $D$ apoiado em $CB$, o triângulo $DMB$ apresenta dois lados iguais, sendo também isósceles.

Por outro lado, o triângulo $NDM$ não é necessariamente isósceles: seus lados $ND = AN$ e $DM = AM$ não têm razão para serem iguais entre si num triângulo qualquer (dependem de onde $N$ e $M$ caem), então ele é apenas a imagem refletida de $NAM$, sem garantia de dois lados iguais.

Conclusão

Os triângulos que a construção garante serem isósceles são $CND$ e $DMB$, o que corresponde à alternativa D.