Questão 165 do ENEM 2011 — Matemática

Esta questão pede que a gente compare o comprimento de cada raia de uma pista de atletismo quando todos partem do mesmo ponto e dão uma volta completa. Vamos entender a geometria da pista para descobrir quem percorre menos.

Analisando a pista

Como mostra a figura, a pista é formada por duas partes retas e duas partes curvas (semicírculos nas extremidades). Numa volta completa, a distância total $D$ percorrida é a soma dos dois trechos retos com os dois trechos curvos: $D = 2 \cdot (\text{comprimento da reta}) + (\text{comprimento das duas curvas})$

As duas curvas, juntas, formam uma circunferência completa de raio $R$, cujo comprimento é: $C = 2 \cdot \pi \cdot R$

Substituindo na distância total: $D = 2 \cdot (\text{comprimento da reta}) + 2 \cdot \pi \cdot R$

Comparando as raias

Agora comparamos os dois componentes de $D$ para cada raia:

1. Trechos retos: o comprimento das retas é o mesmo em todas as raias (as retas são paralelas e idênticas). Logo, nas retas ninguém tem vantagem nem desvantagem.
2. Trechos curvos: aqui está a diferença. Cada raia mais externa tem um raio $R$ maior. A raia $1$, a mais interna, tem o menor raio; da raia $1$ para a raia $8$, o raio cresce.

Como o comprimento da curva é $C = 2 \cdot \pi \cdot R$, ele é diretamente proporcional ao raio: quanto maior o raio, maior a distância a percorrer na curva.

Conclusão

Ser "beneficiado" aqui significa percorrer a menor distância numa volta completa. Como as retas são iguais para todos, ganha quem tiver a menor curva — ou seja, o menor raio. Isso acontece na raia mais interna.

Portanto, o corredor da raia 1 seria o beneficiado, correspondendo à alternativa A.