Questão 159 do ENEM 2015 — Matemática

O problema pede a diferença entre a renda média mensal dos $10\%$ mais ricos e dos $10\%$ mais pobres. Para isso, precisamos calcular a média de cada um desses grupos.

Primeiro, vamos entender a relação entre a média geral, o total de pessoas e a renda total. Sabemos que a média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de elementos. Portanto, a renda total ($T$) da população é o produto da renda média geral ($M$) pelo número total de pessoas ($N$): $T = M \cdot N$

O enunciado nos diz que:

• A renda média geral é $M = 1.202$.
• A população total é $N = 101,8 \times 10^6$ (embora você vá perceber que não precisaremos usar esse número gigante nas contas).

Analisando os $10\%$ mais pobres

A quantidade de pessoas nesse grupo é $10\%$ do total, ou seja, $0,10 \cdot N$. A renda total que esse grupo recebe é $1,1\%$ da renda total da população, o que equivale a $0,011 \cdot T$.

A renda média desse grupo ($M_p$) será a renda total deles dividida pela quantidade de pessoas: $M_p = \frac{0,011 \cdot T}{0,10 \cdot N}$

Analisando os $10\%$ mais ricos

A quantidade de pessoas nesse grupo também é $10\%$ do total, ou seja, $0,10 \cdot N$. A renda total que esse grupo recebe é $44,5\%$ da renda total, o que equivale a $0,445 \cdot T$.

A renda média desse grupo ($M_r$) será: $M_r = \frac{0,445 \cdot T}{0,10 \cdot N}$

Calculando a diferença

O comando da questão pede a diferença entre a renda média dos mais ricos e dos mais pobres ($M_r - M_p$). Podemos montar a expressão e simplificá-la antes de fazer contas difíceis: $M_r - M_p = \frac{0,445 \cdot T}{0,10 \cdot N} - \frac{0,011 \cdot T}{0,10 \cdot N}$

Como os denominadores são iguais, podemos subtrair os numeradores direto: $M_r - M_p = \frac{(0,445 - 0,011) \cdot T}{0,10 \cdot N}$ $M_r - M_p = \frac{0,434 \cdot T}{0,10 \cdot N}$

Agora, lembre-se do nosso primeiro passo: a renda total $T$ é igual a $M \cdot N$. Vamos substituir $T$ na equação: $M_r - M_p = \frac{0,434 \cdot (M \cdot N)}{0,10 \cdot N}$

Note que o número total de pessoas ($N$) aparece multiplicando em cima e embaixo. Podemos cortá-lo! Isso significa que a população de $101,8$ milhões era apenas um distrator para fazer você perder tempo com cálculos grandes. $M_r - M_p = \frac{0,434 \cdot M}{0,10}$

Dividir por $0,10$ é o mesmo que multiplicar por $10$. Assim, a expressão se reduz a: $M_r - M_p = 4,34 \cdot M$

Como a renda média geral é $M = 1.202$, basta fazer a multiplicação final: $M_r - M_p = 4,34 \cdot 1.202$ $M_r - M_p = 5.216,68$

A diferença entre a renda média mensal de um brasileiro na faixa dos $10\%$ mais ricos e um na faixa dos $10\%$ mais pobres é de \text{R\ } 5.216,68$.