Questão 147 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações do texto e da figura para um modelo geométrico simples. Vamos visualizar a grande área como um retângulo e usar as distâncias fornecidas para encontrar a medida do segmento $EF$.

Entendendo a geometria do campo

O texto nos diz que a área penal é o retângulo $ABCD$. Observando a figura, percebemos que o lado $AD$ é a linha de fundo (onde fica o gol) e o lado $BC$ é a linha frontal da grande área. O lado $AB$ representa a profundidade dessa área, que mede $16\text{ m}$.

O ponto penal $P$ está a $11\text{ m}$ da linha de fundo ($AD$). Como a profundidade total da área é de $16\text{ m}$, podemos descobrir a distância do ponto $P$ até a linha frontal da área ($BC$).

Seja $M$ o ponto na linha $BC$ que fica exatamente em frente ao ponto $P$ (formando um ângulo reto). A distância $PM$ será a diferença entre a profundidade total da área e a distância do ponto penal até a linha de fundo: $PM = 16\text{ m} - 11\text{ m} = 5\text{ m}$

Montando o triângulo retângulo

O arco de circunferência tem centro em $P$ e passa pelos pontos $E$ e $F$. O raio dessa circunferência é de $9\text{ m}$. Isso significa que a distância do centro $P$ até qualquer ponto do arco, incluindo as extremidades $E$ e $F$, é igual a $9\text{ m}$. Portanto, $PE = 9\text{ m}$.

Ao traçarmos a linha $PM$, dividimos o segmento $EF$ exatamente ao meio. Formamos assim um triângulo retângulo $\triangle PME$, onde:

• A hipotenusa é o raio da circunferência: $PE = 9\text{ m}$
• Um dos catetos é a distância de $P$ até a linha $BC$: $PM = 5\text{ m}$
• O outro cateto é a metade do segmento que queremos descobrir: $ME$

Aplicando o Teorema de Pitágoras

Agora, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo $\triangle PME$: $PE^2 = PM^2 + ME^2$ $9^2 = 5^2 + ME^2$ $81 = 25 + ME^2$ $ME^2 = 81 - 25$ $ME^2 = 56$ $ME = \sqrt{56}$

Como o segmento $EF$ é o dobro de $ME$, temos que a distância total é: $EF = 2 \cdot \sqrt{56}$

Analisando o resultado

Não precisamos calcular a raiz exata de $56$, basta fazer uma estimativa para encontrar a alternativa correta. Sabemos que:

• $7^2 = 49$
• $8^2 = 64$

Logo, $\sqrt{56}$ é um valor que está entre $7$ e $8$ (aproximadamente $7,48$).

Multiplicando essa estimativa por $2$, concluímos que a distância $EF$ deve estar entre: $2 \cdot 7 = 14\text{ m}$ $2 \cdot 8 = 16\text{ m}$

Ou seja, a distância $EF$ é um valor maior que $14\text{ m}$ e menor que $16\text{ m}$. Olhando para as alternativas, a única que engloba esse intervalo é a que afirma que a distância é superior a $14\text{ m}$ e inferior a $19\text{ m}$.