Questão 148 do ENEM 2013 — Matemática

Entendendo o movimento da partícula

A partícula $P$ percorre o contorno do quadrado, e queremos saber como sua distância até o centro $O$, chamada $F(x)$, varia conforme ela caminha um comprimento $x$. Pela figura, $O$ é o centro do quadrado e $M$ é o ponto médio de um dos lados, que é o ponto de partida.

Vamos fixar as medidas usando a geometria do quadrado. Chame de $1$ cm a distância do centro $O$ até o ponto médio de um lado (é a menor distância possível de $O$ até o contorno). Então o lado do quadrado mede $2$ cm, e o meio-lado (do ponto médio até um vértice) mede $1$ cm.

Analisando pontos-chave da trajetória

Vamos calcular $F(x)$ em instantes específicos para entender o formato do gráfico.

1. Ponto de partida ($x = 0$) A partícula está em $M$, ponto médio de um lado. A distância de $O$ até $M$ é a mínima, $1$ cm. Logo $F(0) = 1$. A distância começa no valor mínimo, não em $2$ nem acima de $1$.

2. Chegando ao primeiro vértice ($x = 1$) De $M$ até o vértice $B$ há $1$ cm. Então em $x = 1$ a partícula está no vértice. A distância de $O$ até o vértice é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $1$ cm e $1$ cm: $F(1)^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad F(1) = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ A distância cresce de $1$ (no meio do lado) até $\sqrt{2}$ (no vértice) — ou seja, ela não é constante.

3. Próximo ponto médio ($x = 2$) Após virar a esquina no vértice, a partícula anda mais $1$ cm até o ponto médio do lado seguinte. Em $x = 2$ a distância volta ao mínimo: $F(2) = 1$.

O padrão se repete a cada lado: a distância oscila entre $1$ (nos pontos médios) e $\sqrt{2}$ (nos vértices).

Reta ou curva? O detalhe decisivo

Falta decidir se, entre um ponto médio e um vértice, a distância cresce em linha reta ou em curva. Para isso, escrevemos $F$ de forma geral num trecho.

Coloque o centro $O$ na origem de um plano cartesiano. No lado de partida, o ponto médio $M$ fica em $(1, 0)$. Enquanto a partícula sobe rumo ao vértice, sua posição é $(1, d)$, onde $d$ é quanto já andou a partir de $M$. A distância ao centro é, por Pitágoras: $F(d) = \sqrt{1^2 + d^2} = \sqrt{1 + d^2}$

Como $d$ aparece ao quadrado dentro de uma raiz, essa expressão não é linear (não é do tipo $ad + b$). Função linear geraria segmentos de reta; aqui, o gráfico é obrigatoriamente curvo em cada trecho.

Conclusão

O gráfico correto precisa: (i) começar em $1$ quando $x = 0$; (ii) oscilar entre $1$ e $\sqrt{2}$; e (iii) fazer essa variação por curvas, não por retas. O gráfico que reúne todas essas propriedades é o da alternativa A.

Alternativa correta: A