Questão 172 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolvermos esse desafio, precisamos entender a relação matemática entre a área de um círculo e o seu diâmetro, e como isso se conecta com os lados do triângulo formado pelas pizzas.

A relação entre as áreas e os lados do triângulo

A área de um círculo é dada pela fórmula $A = \pi \cdot r^2$. Como o raio $r$ é a metade do diâmetro $d$ ($r = \frac{d}{2}$), podemos reescrever a fórmula da área em função do diâmetro:

$A = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$

Vamos chamar o diâmetro da pizza do professor de $a$ (que é o lado oposto ao ângulo $\alpha$) e os diâmetros das pizzas dos amigos de $b$ e $c$.

O professor afirmou que a área da sua pizza é maior do que a soma das áreas das pizzas dos amigos. Escrevendo isso matematicamente, temos:

$\text{Área do Professor} > \text{Área do Amigo 1} + \text{Área do Amigo 2}$

Substituindo a fórmula da área para cada diâmetro:

$\frac{\pi \cdot a^2}{4} > \frac{\pi \cdot b^2}{4} + \frac{\pi \cdot c^2}{4}$

Podemos simplificar essa inequação dividindo todos os termos por $\frac{\pi}{4}$. Ao fazer isso, chegamos a uma relação direta apenas entre os lados do triângulo:

$a^2 > b^2 + c^2$

Analisando o ângulo com a Lei dos Cossenos

Sabemos que se o triângulo fosse retângulo (com $\alpha = 90^\circ$), o Teorema de Pitágoras nos diria que $a^2 = b^2 + c^2$. Nesse caso, as áreas seriam exatamente iguais, como mostrado no exemplo inicial do enunciado.

Mas no nosso caso, temos $a^2 > b^2 + c^2$. Para descobrir o que acontece com o ângulo $\alpha$, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os três lados de qualquer triângulo com um de seus ângulos:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$

Como descobrimos que $a^2 > b^2 + c^2$, podemos substituir o $a^2$ da Lei dos Cossenos nessa inequação:

$b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) > b^2 + c^2$

Subtraindo $b^2$ e $c^2$ de ambos os lados, ficamos com:

$- 2bc \cdot \cos(\alpha) > 0$

Como $b$ e $c$ representam medidas de diâmetros de pizzas, eles são números positivos. Portanto, o produto $2bc$ é positivo. Para que a expressão inteira $-2bc \cdot \cos(\alpha)$ seja maior que zero (positiva), o valor de $\cos(\alpha)$ obrigatoriamente precisa ser negativo (pois negativo com negativo dá positivo).

$\cos(\alpha) < 0$

Conclusão geométrica

Em um triângulo, a medida de qualquer ângulo interno deve estar entre $0^\circ$ e $180^\circ$. Dentro desse intervalo, o cosseno de um ângulo só é negativo se esse ângulo for obtuso, ou seja, se ele for maior que $90^\circ$ e menor que $180^\circ$.

Visualmente, faz todo o sentido: se você tem dois lados fixos ($b$ e $c$) e quer que o terceiro lado ($a$) fique maior do que ficaria em um triângulo retângulo, você precisa "abrir" mais o ângulo entre $b$ e $c$.

Portanto, para que a área da pizza do professor seja maior, o ângulo $\alpha$ deve satisfazer a condição:

$90^\circ < \alpha < 180^\circ$