Questão 151 do ENEM 2014 — Matemática

O ponto central desta questão é que a nova lata deve ter exatamente o mesmo volume da lata atual, mesmo com a base ampliada. Se a base aumenta, a altura tem de diminuir para compensar e manter o volume constante.

A lata tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo, cujo volume é o produto das três dimensões:

$V = \text{comprimento} \times \text{largura} \times \text{altura}$

Resolvendo pelos fatores de variação (independe das medidas)

O enunciado diz que as duas dimensões da base ficam $25\%$ maiores. Um aumento de $25\%$ significa multiplicar cada dimensão por:

$1 + 0,25 = 1,25 = \frac{5}{4}$

Como as duas dimensões da base crescem, a área da base é multiplicada por:

$\frac{5}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{25}{16} = 1,5625$

Para o volume permanecer o mesmo, a altura precisa ser multiplicada pelo inverso desse fator, de modo que o produto volte a $1$:

$h' = \frac{16}{25}\,h = 0,64\,h$

Ou seja, a nova altura é $64\%$ da altura original. A redução sofrida foi de:

$100\% - 64\% = 36\%$

Conferindo com os valores da figura

A figura mostra uma lata com base $24 \times 24$ e altura $40$. Podemos usar esses números para verificar o resultado.

O aumento de $25\%$ leva cada lado da base de $24$ para:

$24 \times 1,25 = 30$

Igualando o volume novo ao atual (com $h'$ como nova altura):

$30 \times 30 \times h' = 24 \times 24 \times 40$ $900\,h' = 23040$ $h' = \frac{23040}{900} = 25,6$

A redução absoluta da altura é $40 - 25,6 = 14,4$, e a redução percentual é:

$\frac{14,4}{40} = \frac{144}{400} = \frac{36}{100} = 36\%$

Os dois caminhos concordam: a altura da lata atual deve ser reduzida em $36\%$.

A resposta correta é a alternativa D.