Questão 142 do ENEM 2022 — Matemática

A pergunta pede a probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem juntos: o Brasil ser escolhido entre os países americanos e a França ser escolhida entre os europeus.

Análise das Escolhas

A comissão terá $4$ representantes das Américas e $4$ da Europa. Como há $7$ países americanos e $7$ europeus disponíveis, podemos analisar cada continente separadamente.

Probabilidade de o Brasil ser escolhido

Para os americanos, escolhem-se $4$ entre $7$. O total de grupos possíveis é uma combinação (a ordem não importa): $C_{7,4} = \binom{7}{4} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Em quantas dessas o Brasil aparece? Fixando o Brasil, restam $3$ vagas para os outros $6$ países: $C_{6,3} = \binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

A probabilidade de o Brasil ser escolhido é a razão entre casos favoráveis e possíveis: $P(\text{Brasil}) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$

Dica: um jeito mais rápido de pensar é que, ao sortear $4$ vagas entre $7$ países, a chance de um país específico ganhar uma vaga é simplesmente $\frac{4}{7}$.

Probabilidade de a França ser escolhida

O raciocínio para a Europa é idêntico: $7$ países e $4$ vagas. Logo: $P(\text{França}) = \frac{4}{7}$

Probabilidade Conjunta

Como a escolha dos americanos não interfere na dos europeus, os eventos são independentes. Para os dois ocorrerem (Brasil e França), multiplicamos as probabilidades: $P(\text{Brasil e França}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{7} = \frac{16}{49}$

Portanto, a probabilidade de o Brasil e a França pertencerem à comissão é $\frac{16}{49}$, alternativa E.