Questão 165 do ENEM 2016 — Matemática

Entendendo o padrão dos andares

Vamos analisar os andares em que João e Pedro trabalharam. Os andares formam sequências numéricas que são Progressões Aritméticas (P.A.).

João trabalhou nos andares $1, 3, 5, 7, \dots$ — uma P.A. com primeiro termo $a_1 = 1$ e razão $r_J = 2$ (avança de dois em dois).

Pedro trabalhou nos andares $1, 4, 7, 10, \dots$ — uma P.A. com primeiro termo $b_1 = 1$ e razão $r_P = 3$ (avança de três em três).

Encontrando os andares em comum

O enunciado diz que em exatamente 20 andares ambos realizaram reparos. Precisamos então da intersecção das duas sequências, isto é, dos andares em que tanto João quanto Pedro trabalharam.

O primeiro andar comum aos dois é o andar 1. Para saber de quantos em quantos andares eles voltam a coincidir, calculamos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) das razões das duas progressões originais: $\text{MMC}(2, 3) = 6$

Logo, os andares em comum também formam uma P.A., com primeiro termo $c_1 = 1$ e razão $r = 6$: $1, 7, 13, 19, \dots$

Calculando o total de andares

Como eles trabalharam juntos em exatamente 20 andares e terminaram no último andar do edifício, o $20^\circ$ andar em comum é o último andar do prédio.

Usamos a fórmula do termo geral da P.A.: $c_n = c_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo $c_1 = 1$, $n = 20$ e $r = 6$: $c_{20} = 1 + (20 - 1) \cdot 6 = 1 + 19 \cdot 6 = 1 + 114 = 115$

Portanto, o edifício tem 115 andares.