Questão 139 do ENEM 2018 — Matemática

O objeto só pode se mover sobre as linhas da malha: pelas semirretas (radialmente, aproximando-se ou afastando-se do centro) e pelas circunferências (angularmente, em arcos), sem passar pela origem. Queremos o menor caminho de $B$ até $A$.

Lendo as posições na figura

Da figura do enunciado, extraímos que o ponto $B$ está sobre a circunferência de raio $4$ e o ponto $A$ está sobre a circunferência de raio $6$. Também pela figura, a separação angular entre a semirreta de $B$ e a de $A$ corresponde a $4$ dos setores em que a malha é dividida. Como cada setor vale $\frac{\pi}{6}\text{ rad}$, o ângulo entre eles é $\theta = 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}$

Por que curvar no menor raio possível

O percurso terá trechos radiais (sobre semirretas) mais um trecho de arco (sobre uma circunferência). O comprimento de um arco é $C = \theta \cdot R$ Como $\theta$ é fixo, o arco é tão menor quanto menor for o raio $R$ onde ele é feito. Logo, para economizar, o giro angular deve ocorrer na circunferência mais interna permitida. Como não se pode passar pela origem (raio $0$), o menor raio disponível é $R = 1$.

Montando o trajeto ótimo

1. Descida (radial): de $B$ (raio $4$) até a circunferência de raio $1$: $4 - 1 = 3$

2. Arco (angular) em $R = 1$: $C = \frac{2\pi}{3}\cdot 1 = \frac{2\cdot\pi\cdot 1}{3}$

3. Subida (radial): da circunferência de raio $1$ até $A$ (raio $6$): $6 - 1 = 5$

Distância total

Somando os três trechos: $3 + \frac{2\cdot\pi\cdot 1}{3} + 5 = \frac{2\cdot\pi\cdot 1}{3} + 8$

que corresponde à alternativa A.