Questão 161 do ENEM 2009 — Matemática

A chave desse problema é entender o critério de pontuação: a nota da equipe é a mediana das notas dos 10 alunos, e não a média. Isso muda tudo.

A equipe Gama teve um aluno faltoso (nota $0$). As notas dos $9$ alunos que compareceram foram: $10$; $6,5$; $8$; $10$; $7$; $6,5$; $7$; $8$; $6$. Colocando essas $9$ notas em ordem crescente: $6 \; ; \; 6,5 \; ; \; 6,5 \; ; \; 7 \; ; \; 7 \; ; \; 8 \; ; \; 8 \; ; \; 10 \; ; \; 10$

Se o aluno faltoso tivesse comparecido, ele receberia uma nota $x$ (com $0 \le x \le 10$), completando $10$ notas. Como o total passa a ser par, a mediana é a média entre a 5ª e a 6ª notas da lista ordenada. Vamos ver qual é a maior mediana possível, testando os cenários para $x$:

• Se o aluno tira uma nota alta ($x \ge 8$): as cinco primeiras notas continuam $6 \; ; \; 6,5 \; ; \; 6,5 \; ; \; 7 \; ; \; 7$, e a 6ª passa a ser $8$. A mediana é $\frac{7 + 8}{2} = 7,5$
• Se o aluno tira uma nota intermediária ($7 \le x < 8$): a 5ª nota é $7$ e a 6ª é o próprio $x$. A mediana $\frac{7 + x}{2}$ fica estritamente abaixo de $7,5$.
• Se o aluno tira uma nota baixa ($x < 7$): ele entra entre as primeiras posições; a 5ª e a 6ª notas são no máximo $7$, dando mediana no máximo $\frac{7 + 7}{2} = 7$

No melhor cenário possível, a equipe Gama chegaria a $7,5$. Comparando com as demais equipes:

• Equipe Ômega: $7,8$ (1º lugar)
• Equipe Delta: $7,6$ (2º lugar)

Como $7,5$ é a máxima que a Gama poderia atingir, ela nunca alcança os $7,6$ da Delta. Portanto, independentemente da nota do aluno faltoso, a equipe Gama permaneceria na terceira posição. A resposta é a alternativa D.