Questão 153 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender o que acontece quando um plano corta um sólido — a chamada seção transversal — e aplicar isso à geometria descrita para a escultura.

Entendendo as formas envolvidas

O enunciado nos dá informações importantes sobre as peças:

1. Prisma I: é um prisma reto de base triangular. A face $\alpha$ indicada é justamente uma dessas faces triangulares.
2. Poliedro II: o texto afirma que suas faces laterais são perpendiculares à sua face superior, e que essa face superior é um triângulo congruente (mesma forma e mesmo tamanho) à base dos prismas. Ou seja, o poliedro II se comporta como um prisma reto de base triangular, igual à dos demais.

Como os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II, e as bases triangulares são congruentes entre si, essas bases triangulares ficam em planos paralelos. Isso significa que a face $\alpha$ é paralela à face superior do poliedro II.

O plano de corte

A questão pede para imaginarmos um plano paralelo à face $\alpha$ passando pelo ponto $P$, que pertence a uma aresta do poliedro II.

Aqui vale a propriedade fundamental dos prismas retos: quando cortamos um prisma por um plano paralelo à sua base, a figura obtida na interseção é um polígono congruente à base. Como a base é um triângulo, o corte produz um triângulo idêntico ao triângulo base — e, por serem paralelos, seus lados são respectivamente paralelos aos lados da base.

Por que dois triângulos

Segundo a figura, o poliedro II não é um bastão reto e simples: ele se dobra sobre si mesmo, de modo que o plano paralelo a $\alpha$ passando por $P$ atravessa duas partes desse mesmo prisma (a parte onde está $P$ e outra parte do poliedro que tem a mesma orientação). A leitura exata do formato do poliedro e da posição de $P$ depende da figura; mas, independentemente do detalhe do traçado, o essencial é que o plano corta duas porções de um prisma de base triangular, todas com a mesma orientação.

Como cada corte é uma seção paralela à base de um prisma reto de base triangular, o resultado da interseção é:

• dois triângulos (um para cada porção cortada);
• congruentes entre si (seções paralelas à mesma base triangular);
• com lados correspondentes paralelos (pois as duas porções mantêm a mesma orientação espacial em relação ao plano de corte).

Isso corresponde exatamente à descrição da alternativa A: dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.