Questão 155 do ENEM 2011 — Matemática

A ideia-chave aqui é lembrar que a menor distância entre um ponto e uma reta é sempre o segmento perpendicular à reta que sai desse ponto. Como o barco segue em linha reta (a trajetória mostrada na figura) e $P$ é um ponto fixo fora dessa reta, a menor distância será o comprimento da perpendicular baixada de $P$ até a trajetória. Vamos chamar de $C$ o pé dessa perpendicular; nosso objetivo é calcular $PC$.

Pela configuração da figura, o ângulo no vértice $A$ é $\alpha = 30^\circ$ e o ângulo externo em $B$ (entre o segmento $BP$ e o prolongamento da trajetória) vale $2\alpha = 60^\circ$.

Usamos o Teorema do Ângulo Externo: a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes. No triângulo $\triangle ABP$, o ângulo externo em $B$ é $2\alpha$, e os ângulos internos não adjacentes são $\angle PAB = \alpha$ e $\angle APB$: $2\alpha = \alpha + \angle APB$ $60^\circ = 30^\circ + \angle APB$ $\angle APB = 30^\circ$

Como $\angle PAB = \angle APB = 30^\circ$, o triângulo $\triangle ABP$ é isósceles, e os lados opostos a esses ângulos iguais têm a mesma medida: $BP = AB = 2\,000 \text{ m}$

Agora olhamos para o triângulo retângulo $\triangle BCP$, formado por $B$, $P$ e o pé da perpendicular $C$. Nele:

• a hipotenusa é $BP = 2\,000 \text{ m}$;
• o ângulo em $B$ é $\angle PBC = 2\alpha = 60^\circ$;
• o cateto oposto a esse ângulo é justamente a distância procurada $PC$.

Aplicando o seno: $\sin(60^\circ) = \frac{PC}{BP}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{PC}{2\,000}$ $PC = 2\,000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1\,000\sqrt{3} \text{ m}$

Logo, a menor distância do barco até o ponto fixo $P$ é $1\,000\sqrt{3} \text{ m}$, o que corresponde à alternativa B.