Questão 152 do ENEM 2016 — Matemática

Entendendo o problema

Queremos a probabilidade de o adolescente sair da Entrada e chegar à área IV sem passar por nenhuma outra área (I, II, III ou V) e sem retornar. O enunciado garante que, em cada ramificação, as opções de percurso têm iguais probabilidades: se um ponto de escolha oferece $n$ saídas, cada uma tem probabilidade $\frac{1}{n}$.

O mapa mostra a Entrada à esquerda e as áreas distribuídas ao redor (I e V acima, III no centro, II abaixo e IV, maior, à direita). A partir da Entrada há duas maneiras de alcançar a área IV sem tocar nas demais: uma rota que parte para cima e outra que parte para baixo. Vamos calcular a probabilidade de cada uma.

Rota superior

Ao longo dessa rota o adolescente passa por três pontos de escolha até chegar a IV:

1. Primeira escolha, com 2 saídas (ir para cima ou para baixo): probabilidade $\frac{1}{2}$ de tomar o ramo de cima.
2. Segunda escolha, também com 2 saídas: probabilidade $\frac{1}{2}$ de seguir para o ramo que se dirige a IV sem cair em outra área.
3. Terceira escolha, agora com 3 saídas: probabilidade $\frac{1}{3}$ de seguir justamente para a área IV.

Como essas escolhas acontecem em sequência (uma depois da outra, no mesmo trajeto), multiplicamos as probabilidades:

$P_{\text{superior}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

Rota inferior

A rota que parte para baixo também tem três pontos de escolha, todos com 2 saídas cada:

$P_{\text{inferior}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Juntando as duas rotas

Como o adolescente chega a IV ou pela rota superior ou pela inferior, e esses caminhos são mutuamente exclusivos (ele segue um só), a probabilidade total é a soma:

$P_{\text{total}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{8}$

O menor denominador comum entre 12 e 8 é 24:

$P_{\text{total}} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}$

Portanto, a probabilidade de chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é $\frac{5}{24}$, o que corresponde à alternativa C.

Cuidado com o erro clássico: como os dois caminhos são alternativas, somamos as probabilidades. Multiplicá-las levaria a $\frac{1}{96}$, resultado que não faz sentido aqui.