Questão 162 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como funciona um torneio de eliminatória simples, o famoso "mata-mata". A regra básica é: em cada partida, dois jogadores se enfrentam, o vencedor avança para a próxima fase e o perdedor é eliminado.

O enunciado nos diz que o torneio começa com $128$ tenistas. O que a questão pede não é o resultado final da soma de todas as partidas, mas sim a expressão matemática que mostra a quantidade de jogos que acontecem em cada etapa, desde a primeira fase até a grande final.

Vamos construir o caminho do torneio fase a fase:

1ª Fase: Temos $128$ jogadores disponíveis. Como cada partida precisa de $2$ jogadores, dividimos o total por $2$ para descobrir o número de jogos: $\frac{128}{2} = 64 \text{ partidas}$ Dessas $64$ partidas, sairão $64$ vencedores que avançam para a próxima fase.

2ª Fase: Agora temos $64$ jogadores. Formando novos pares, teremos: $\frac{64}{2} = 32 \text{ partidas}$

3ª Fase: Com os $32$ vencedores da fase anterior, teremos: $\frac{32}{2} = 16 \text{ partidas}$

4ª Fase (Oitavas de final): Com $16$ jogadores restantes: $\frac{16}{2} = 8 \text{ partidas}$

5ª Fase (Quartas de final): Com $8$ jogadores: $\frac{8}{2} = 4 \text{ partidas}$

6ª Fase (Semifinal): Com $4$ jogadores: $\frac{4}{2} = 2 \text{ partidas}$

7ª Fase (A Grande Final): Restam apenas $2$ jogadores para disputar o título. Eles se enfrentam em: $\frac{2}{2} = 1 \text{ partida}$

Para encontrar o número total de partidas necessárias para definir o campeão, basta somar a quantidade de jogos de todas as fases que calculamos: $64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1$

Essa soma corresponde exatamente à alternativa E.

Uma dica valiosa

Existe um "atalho" lógico muito interessante para esse tipo de problema. Em um torneio de eliminatória simples, cada partida elimina exatamente um jogador. Se começamos com $128$ jogadores e queremos que reste apenas um campeão, precisamos eliminar $127$ pessoas. Como cada eliminação custa exatamente uma partida, o torneio terá, obrigatoriamente, $127$ partidas no total. Se você resolver a soma $64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1$, verá que o resultado é exatamente $127$!