Questão 161 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos garantir que a área de cada fatia da nova pizza seja igual à área de cada fatia da pizza média tradicional. Vamos calcular essas áreas passo a passo.

Área da fatia da pizza média

A pizza média tem um formato circular com diâmetro de $30 \text{ cm}$. O raio ($R_1$) é a metade do diâmetro, ou seja: $R_1 = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}$

A área total dessa pizza ($A_1$) é dada pela fórmula da área do círculo ($A = \pi \cdot R^2$): $A_1 = \pi \cdot 15^2 = 225\pi \text{ cm}^2$

Como essa pizza é dividida em $8$ fatias iguais, a área de uma única fatia ($A_{\text{fatia}}$) será a área total dividida por $8$: $A_{\text{fatia}} = \frac{225\pi}{8} \text{ cm}^2$

Área da nova pizza

A família deseja fazer uma nova pizza que será dividida em $10$ fatias, e cada uma dessas fatias deve ter exatamente a mesma área da fatia que acabamos de calcular. Portanto, a área total da nova pizza ($A_2$) será $10$ vezes a área de uma fatia: $A_2 = 10 \cdot \left( \frac{225\pi}{8} \right) = \frac{2250\pi}{8} \text{ cm}^2$

Simplificando a fração (dividindo o numerador e o denominador por $2$), obtemos: $A_2 = \frac{1125\pi}{4} \text{ cm}^2$

Calculando o raio da nova pizza

Sabemos que a área da nova pizza também é calculada pela fórmula da área do círculo, usando o seu próprio raio ($R_2$): $A_2 = \pi \cdot R_2^2$

Igualando as duas expressões para a área da nova pizza, temos: $\pi \cdot R_2^2 = \frac{1125\pi}{4}$

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $\pi$: $R_2^2 = \frac{1125}{4}$

Para encontrar o valor de $R_2$, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: $R_2 = \sqrt{\frac{1125}{4}} = \frac{\sqrt{1125}}{2}$

Agora, precisamos simplificar a raiz de $1125$. Fatorando o número, percebemos que $1125 = 225 \cdot 5$, e sabemos que a raiz quadrada exata de $225$ é $15$. Assim: $\sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5}$

Substituindo isso na nossa equação do raio: $R_2 = \frac{15\sqrt{5}}{2}$

O enunciado nos pede para usar a aproximação $\sqrt{5} \approx 2,2$. Substituindo esse valor na expressão: $R_2 = \frac{15 \cdot 2,2}{2}$ $R_2 = 15 \cdot 1,1$ $R_2 = 16,5 \text{ cm}$

Portanto, o valor do raio com que deve ser feita a nova pizza é de $16,50 \text{ cm}$.