Questão 173 do ENEM 2022 — Matemática

ENEM 2022MatemáticaPPL

Três amigos, A, B e C, se encontraram em um supermercado. Por coincidência, estavam comprando os mesmos itens, conforme o quadro.

Amigos	Arroz (kg)	Feijão (kg)	Macarrão (kg)
A	3	2	4
B	2	3	3
C	2	2	2

Os amigos estavam muito entretidos na conversa e nem perceberam que pagaram suas compras, pegaram seus trocos e esqueceram seus comprovantes. Já longe do supermercado, “A” lembrou que precisava saber o quanto pagou por um quilo de arroz e dois quilos de macarrão, pois estava comprando para sua vizinha e esperava ser ressarcido. “B”, que adorava desafios matemáticos, disse que pagou suas compras com R\$ 40,00 e obteve troco de R\$ 7,30, e que conseguiria determinar o custo desses itens se os amigos dissessem como pagaram e quanto foram seus respectivos trocos. “A” disse que pagou com R\$ 40,00 e obteve troco de R\$ 4,00, e “C” pagou com R\$ 30,00 e obteve troco de R\$ 5,40.

A vizinha de “A” deve a ele pela compra, em reais, o valor de

8,10.

10,00.

11,40.

Resposta correta

12,00.

13,20.

Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Para resolver esse problema, precisamos primeiro organizar as informações dadas no enunciado e traduzi-las para a linguagem matemática. Vamos chamar de $x$ , $y$ e $z$ os preços de um quilograma de arroz, feijão e macarrão, respectivamente.

O primeiro passo é descobrir quanto cada amigo gastou no total. Para isso, subtraímos o troco do valor pago:

Amigo A: Pagou com R$ 40,00 e teve R$ 4,00 de troco. Logo, gastou $40,00 - 4,00 = 36,00$ .
Amigo B: Pagou com R$ 40,00 e teve R$ 7,30 de troco. Logo, gastou $40,00 - 7,30 = 32,70$ .
Amigo C: Pagou com R$ 30,00 e teve R$ 5,40 de troco. Logo, gastou $30,00 - 5,40 = 24,60$ .

Com base na tabela de compras, podemos montar um sistema de equações lineares relacionando as quantidades compradas com o valor total gasto por cada um:

$3x + 2y + 4z = 36,00$ (Compra de A)
$2x + 3y + 3z = 32,70$ (Compra de B)
$2x + 2y + 2z = 24,60$ (Compra de C)

O problema nos pede o valor que a vizinha deve ao amigo A. Sabemos que ela pediu $1\text{ kg}$ de arroz e $2\text{ kg}$ de macarrão. Em termos das nossas variáveis, queremos descobrir o valor da expressão $x + 2z$ .

Embora seja possível resolver o sistema completo para encontrar os preços individuais de cada produto ( $x$ , $y$ e $z$ ), podemos ser mais espertos e buscar um atalho matemático observando as equações que montamos.

Note que a equação do amigo A e a equação do amigo C têm o mesmo coeficiente para a variável $y$ (que representa o feijão). Se subtrairmos a equação (3) da equação (1), a variável $y$ será eliminada:

$(3x + 2y + 4z) - (2x + 2y + 2z) = 36,00 - 24,60$

Realizando a subtração termo a termo:

Para o arroz ( $x$ ): $3x - 2x = x$
Para o feijão ( $y$ ): $2y - 2y = 0$
Para o macarrão ( $z$ ): $4z - 2z = 2z$

Do lado direito da igualdade, temos: $36,00 - 24,60 = 11,40$

Juntando tudo, obtemos exatamente a expressão que procurávamos: $x + 2z = 11,40$

Portanto, sem precisarmos calcular o preço de cada item separadamente, descobrimos que $1\text{ kg}$ de arroz e $2\text{ kg}$ de macarrão custam juntos R$ 11,40. Esse é o valor que a vizinha deve ao amigo A.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2022 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.