Questão 158 do ENEM 2020 — Matemática

O problema pede a quantidade de caminhos que André pode fazer de sua casa até a casa de Bernardo, andando apenas para a direita ($\rightarrow$) ou para cima ($\uparrow$), com uma restrição: ele não pode passar pela casa de Carlos.

Quando um problema de contagem traz uma condição do tipo "sem passar por certo ponto", a estratégia mais eficiente é o princípio da exclusão. A ideia é simples: calculamos o total de caminhos de $A$ até $B$ (sem restrição alguma) e, depois, descontamos os caminhos "proibidos", ou seja, aqueles que passam por $C$.

Total de caminhos de $A$ até $B$

Andando apenas para a direita e para cima, cada caminho de $A$ até $B$ é uma sequência de passos horizontais e verticais. Segundo a malha da figura, o trajeto de $A$ até $B$ exige $4$ passos para a direita e $3$ passos para cima, num total de $4 + 3 = 7$ passos.

Cada caminho diferente corresponde a uma ordem diferente para esses $7$ passos (por exemplo: direita, direita, cima, direita, cima, direita, cima). Como há passos repetidos, usamos a permutação com repetição, com $4$ passos iguais para a direita e $3$ iguais para cima:

$P_7^{4,3} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$

Ou seja, há $35$ caminhos possíveis de $A$ até $B$ sem nenhuma restrição.

Caminhos que passam por $C$

Um caminho que passa por $C$ pode ser pensado em duas etapas encadeadas: ir de $A$ até $C$ e, em seguida, de $C$ até $B$.

De $A$ até $C$: de acordo com a posição de $C$ na malha, esse trecho exige $2$ passos para a direita e $2$ para cima, num total de $4$ passos:

$P_4^{2,2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$

De $C$ até $B$: o restante do trajeto exige $2$ passos para a direita e $1$ para cima, num total de $3$ passos:

$P_3^{2,1} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2} = 3$

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de caminhos que passam por $C$ é o produto das possibilidades de cada etapa:

$6 \cdot 3 = 18$

Caminhos permitidos

Descontando os caminhos proibidos do total:

$35 - 18 = 17$

Portanto, André dispõe de $17$ caminhos diferentes que respeitam as condições do problema, o que corresponde à alternativa C.