Questão 148 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos relacionar as três grandezas envolvidas no movimento: distância, velocidade e tempo. Sabemos que a velocidade média ($v$) é a razão entre a distância percorrida ($d$) e o tempo gasto ($t$). Ou seja:

$v = \frac{d}{t} \implies t = \frac{d}{v}$

Vamos chamar a distância total da viagem de $D$. O enunciado nos diz que os três amigos dividiram a quilometragem total em três partes iguais. Portanto, cada um deles dirigiu uma distância igual a $\frac{D}{3}$.

Agora, podemos calcular o tempo que cada amigo passou na direção, dividindo a distância que cada um percorreu pela sua respectiva velocidade média:

• Primeiro amigo: dirigiu a $75\text{ km/h}$. $t_1 = \frac{\frac{D}{3}}{75} = \frac{D}{3 \cdot 75} = \frac{D}{225}$

• Segundo amigo: dirigiu a $90\text{ km/h}$. $t_2 = \frac{\frac{D}{3}}{90} = \frac{D}{3 \cdot 90} = \frac{D}{270}$

• Terceiro amigo: dirigiu a $100\text{ km/h}$. $t_3 = \frac{\frac{D}{3}}{100} = \frac{D}{3 \cdot 100} = \frac{D}{300}$

O tempo total da viagem foi de $31\text{ horas}$. Logo, a soma dos tempos individuais deve ser igual a $31$:

$t_1 + t_2 + t_3 = 31$

Substituindo as expressões que encontramos:

$\frac{D}{225} + \frac{D}{270} + \frac{D}{300} = 31$

Para somar essas frações, precisamos encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores $225$, $270$ e $300$. Fatorando cada um deles, temos:

• $225 = 3^2 \cdot 5^2$
• $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$
• $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

O MMC é o produto de todos os fatores primos, elevados aos seus maiores expoentes: $\text{MMC} = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 27 \cdot 25 = 100 \cdot 27 = 2700$

Agora, reescrevemos as frações com o denominador $2700$:

• $\frac{D}{225} = \frac{12D}{2700}$ (pois $2700 \div 225 = 12$)
• $\frac{D}{270} = \frac{10D}{2700}$ (pois $2700 \div 270 = 10$)
• $\frac{D}{300} = \frac{9D}{2700}$ (pois $2700 \div 300 = 9$)

Substituindo na equação:

$\frac{12D}{2700} + \frac{10D}{2700} + \frac{9D}{2700} = 31$

Somando os numeradores:

$\frac{31D}{2700} = 31$

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $31$:

$\frac{D}{2700} = 1$

Multiplicando ambos os lados por $2700$, encontramos a distância total:

$D = 2700\text{ km}$

Portanto, a distância percorrida por eles foi de $2700\text{ km}$.