Questão 178 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos calcular a probabilidade de vitória de cada um dos jogadores. Vamos começar entendendo o espaço amostral, ou seja, o total de resultados possíveis no lançamento dos três dados.

Como cada dado tem $6$ faces, e os três dados são lançados simultaneamente (dois por Artur e um por João), o número total de combinações possíveis é dado por: $6 \times 6 \times 6 = 216 \text{ resultados possíveis}$

Agora, vamos analisar as condições de vitória. O enunciado nos diz que Artur vence se o maior número entre seus dois dados for estritamente maior que o número do dado de João. Por outro lado, João vence se o seu número for maior ou igual ao maior número de Artur (já que João vence em caso de empate).

É mais simples calcular primeiro a probabilidade de vitória de João. Para que João vença, o valor do seu dado deve ser maior ou igual aos valores de ambos os dados de Artur. Vamos analisar as possibilidades dependendo do número que João tirar em seu dado:

• Se João tirar $1$: Os dois dados de Artur precisam ser obrigatoriamente $1$. Isso nos dá $1 \times 1 = 1$ possibilidade.
• Se João tirar $2$: Os dados de Artur podem ser $1$ ou $2$. Isso nos dá $2 \times 2 = 4$ possibilidades.
• Se João tirar $3$: Os dados de Artur podem ser $1$, $2$ ou $3$. Isso nos dá $3 \times 3 = 9$ possibilidades.
• Se João tirar $4$: Os dados de Artur podem ser de $1$ a $4$. Isso nos dá $4 \times 4 = 16$ possibilidades.
• Se João tirar $5$: Os dados de Artur podem ser de $1$ a $5$. Isso nos dá $5 \times 5 = 25$ possibilidades.
• Se João tirar $6$: Os dados de Artur podem ser qualquer valor de $1$ a $6$. Isso nos dá $6 \times 6 = 36$ possibilidades.

Somando todas as combinações favoráveis a João, temos: $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91 \text{ possibilidades de vitória para João}$

Logo, a probabilidade de João vencer é: $P(\text{João}) = \frac{91}{216}$

Como no jogo não há empates finais (o empate nos dados dá a vitória a João), a probabilidade de Artur vencer é o evento complementar da vitória de João. Assim, o número de casos favoráveis a Artur será o total de casos menos os casos favoráveis a João: $216 - 91 = 125 \text{ possibilidades de vitória para Artur}$

Portanto, a probabilidade de Artur vencer é: $P(\text{Artur}) = \frac{125}{216}$

Comparando as duas probabilidades, vemos que Artur tem a maior chance de vitória, com probabilidade de $\frac{125}{216}$.