Questão 151 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir qual foi a fatia de contribuição de cada sócio em relação ao investimento total da fábrica. Como a divisão do valor da venda será proporcional ao que cada um investiu, a porcentagem que cada um vai receber é exatamente igual à porcentagem que cada um investiu do total.

O Investimento Total

Primeiro, vamos calcular o valor total investido na fábrica. Tivemos dois momentos de aporte financeiro:

• O investimento inicial: R$ 1.000.000,00
• O segundo investimento: R$ 800.000,00

Somando esses valores, o investimento total foi de: $1.000.000 + 800.000 = 1.800.000$

A Participação do Sócio Novo

O quarto sócio (o novato) entrou apenas no segundo momento. A questão nos diz que os quatro sócios dividiram igualmente o segundo investimento de R$ 800.000,00. Portanto, a contribuição do sócio novo foi de um quarto desse valor: $\frac{800.000}{4} = 200.000$

Agora, para descobrir a porcentagem que esse valor representa do investimento total, dividimos a parte dele pelo todo: $\frac{200.000}{1.800.000} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Dividindo $1$ por $9$, obtemos uma dízima periódica: $\frac{1}{9} \approx 0,1111\dots$

Multiplicando por $100$ para transformar em porcentagem, descobrimos que o sócio novo tem direito a aproximadamente $11,11\%$ do montante da venda.

A Participação dos Sócios Iniciais

Existem duas formas de encontrar a porcentagem dos três sócios fundadores. A mais trabalhosa seria calcular o valor exato que cada um investiu (um terço de R$ 1.000.000,00 mais um quarto de R$ 800.000,00) e dividir pelo total.

Porém, podemos usar um atalho lógico muito mais rápido! Sabemos que a soma das porcentagens de todos os quatro sócios deve resultar em $100\%$ do bolo. Como os três sócios iniciais investiram quantias iguais, podemos chamar a porcentagem de cada um de $x$. Assim, temos: $3x + 11,11\% = 100\%$ $3x = 100\% - 11,11\%$ $3x = 88,89\%$ $x = \frac{88,89\%}{3}$ $x \approx 29,63\%$

Portanto, cada um dos três sócios iniciais deve receber aproximadamente $29,63\%$ do valor da venda, enquanto o quarto sócio recebe $11,11\%$.

Analisando as alternativas, os valores mais próximos encontrados são $29,60$ e $11,11$, o que nos leva à alternativa correta.