Questão 175 do ENEM 2020 — Matemática

Para achar o gráfico do lucro, o segredo é lembrar da definição dada no enunciado: $L(x) = R(x) - C(x)$

Ou seja, em cada valor de $x$ (quantidade de itens), o lucro é a distância vertical entre a curva da Receita e a curva do Custo, com sinal: positivo quando a Receita está acima do Custo, negativo quando o Custo está acima da Receita. Vamos ler o gráfico ponto a ponto para montar o comportamento de $L(x)$.

1. Onde o lucro é zero

O lucro se anula onde $R(x) = C(x)$, isto é, onde as curvas se cruzam. No gráfico, isso ocorre em dois momentos:

• Em $x = 5$, as duas curvas partem juntas do valor $5$, logo $L(5) = 5 - 5 = 0$.
• Em $x = 15$, elas voltam a se encontrar no valor $40$, logo $L(15) = 40 - 40 = 0$.

Então o gráfico do lucro toca o eixo horizontal em $x = 5$ e $x = 15$.

2. Entre $x = 5$ e $x = 15$: prejuízo

Nesse trecho, a curva do Custo está acima da curva da Receita. Com o custo maior que a receita, a empresa tem prejuízo e $L(x) < 0$. O prejuízo é máximo onde a distância vertical entre as curvas é maior. Isso acontece por volta de $x = 10$, onde o Custo chega a cerca de $45$ e a Receita a cerca de $25$: $L(10) \approx 25 - 45 = -20$

Ou seja, o gráfico do lucro forma um vale próximo de $-20$ em torno de $x = 10$.

3. Depois de $x = 15$: lucro

A partir de $x = 15$ a situação se inverte: a Receita passa a ficar acima do Custo, então $L(x) > 0$. O lucro é máximo onde a distância vertical entre as curvas é maior, o que ocorre em $x = 25$, onde a Receita atinge o pico de $50$ e o Custo o mínimo de $10$: $L(25) = 50 - 10 = 40$

O gráfico do lucro tem um pico de $40$ em $x = 25$.

4. No fim do gráfico

Em $x = 30$, a Receita está em cerca de $45$ e o Custo subiu para cerca de $35$: $L(30) \approx 45 - 35 = 10$

O lucro termina positivo, em torno de $10$.

Conclusão

O gráfico do lucro deve:

• valer zero em $x = 5$;
• descer a um mínimo de cerca de $-20$ em $x = 10$;
• cruzar o zero de novo em $x = 15$;
• subir a um máximo de $40$ em $x = 25$;
• terminar positivo, perto de $10$, em $x = 30$.

O único gráfico com esse formato — um vale negativo seguido de um pico positivo, com esses valores — é o da alternativa A.