Questão 159 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, o primeiro passo é descobrir qual deve ser o tamanho da população de larvas no momento da aplicação do produto X.

O enunciado nos diz que o agricultor dispõe de $5$ litros do produto e que ele deve aplicar tudo de uma única vez. Como a recomendação é usar $1$ litro para cada $200\,000$ larvas, podemos calcular a população alvo multiplicando a quantidade de produto pela capacidade de cada litro: $5 \text{ litros} \times 200\,000 \text{ larvas/litro} = 1\,000\,000 \text{ larvas}$

Portanto, o produto deve ser aplicado quando a lavoura atingir a marca de $1\,000\,000$ de larvas.

Agora, precisamos analisar o crescimento dessa população. Sabemos que o agricultor inicia o método com $100$ larvas e que essa quantidade é multiplicada por $10$ a cada $3$ dias.

Podemos resolver isso de forma bem intuitiva, acompanhando o crescimento passo a passo:

• Início ($0$ dias): $100$ larvas
• Após $3$ dias: $100 \times 10 = 1\,000$ larvas
• Após $6$ dias: $1\,000 \times 10 = 10\,000$ larvas
• Após $9$ dias: $10\,000 \times 10 = 100\,000$ larvas
• Após $12$ dias: $100\,000 \times 10 = 1\,000\,000$ larvas

Chegamos exatamente à população alvo de $1\,000\,000$ de larvas no $12^{\circ}$ dia.

Caso prefira equacionar, podemos modelar o problema usando uma função exponencial. A população $P$ em função do tempo $t$ (em dias) é dada por: $P(t) = P_0 \cdot 10^{\frac{t}{3}}$

Substituindo os valores que encontramos ($P_0 = 100$ e $P(t) = 1\,000\,000$): $1\,000\,000 = 100 \cdot 10^{\frac{t}{3}}$

Dividindo ambos os lados por $100$: $10\,000 = 10^{\frac{t}{3}}$

Escrevendo $10\,000$ como potência de base $10$: $10^4 = 10^{\frac{t}{3}}$

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes: $4 = \frac{t}{3}$ $t = 4 \cdot 3 = 12 \text{ dias}$

Assim, o agricultor deverá aplicar o produto X exatos $12$ dias após o início do método.