Questão 169 do ENEM 2019 — Matemática

Entendendo as Regras do Match

Para que o aplicativo registre um match entre o usuário $P$ e outro usuário, a distância entre eles deve ser menor ou igual ao raio de abrangência de ambos. O enunciado nos diz que o usuário $P$ definiu um raio de $3\text{ km}$. Vamos analisar as restrições de cada conexão:

• Usuário $Q$: raio de $3\text{ km}$. A distância entre $P$ e $Q$ deve ser no máximo $3\text{ km}$.
• Usuário $R$: raio de $2\text{ km}$. A distância entre $P$ e $R$ deve ser no máximo $2\text{ km}$ (esta é a condição mais restritiva!).
• Usuário $S$: raio de $5\text{ km}$. Como o raio de $P$ é de apenas $3\text{ km}$, a distância máxima entre eles fica limitada a $3\text{ km}$.

Lendo as Coordenadas no Gráfico

Segundo as posições marcadas no plano cartesiano do gráfico, lemos as localizações dos usuários e dos bares que $P$ costuma frequentar:

• Usuários: $Q = (3, 7)$, $R = (6, 7)$ e $S = (5, 3)$.
• Bares: $I = (5, 6)$, $II = (4, 5)$, $III = (5, 5)$, $IV = (4, 6)$ e $V = (3, 4)$.

Esses pares ordenados são o ponto de partida da nossa análise. A partir daqui, tudo é cálculo.

A Estratégia de Resolução

Na geometria analítica, a distância $d$ entre dois pontos do plano é obtida aplicando o Teorema de Pitágoras, em que as diferenças das coordenadas formam os catetos de um triângulo retângulo:

$d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$

Como o usuário $R$ tem o menor raio de abrangência ($2\text{ km}$), ele funciona como "gargalo" do problema. É mais inteligente começar testando qual bar cumpre essa condição rigorosa, pois isso elimina rapidamente várias alternativas.

Vamos testar a distância dos bares mais próximos até $R(6, 7)$:

• Bar $I(5, 6)$: $\Delta x = 6 - 5 = 1$ e $\Delta y = 7 - 6 = 1$. $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies d = \sqrt{2} \approx 1,41\text{ km}$ Como $1,41 \le 2$, o Bar $I$ é um forte candidato.

• Bar $III(5, 5)$: $\Delta x = 6 - 5 = 1$ e $\Delta y = 7 - 5 = 2$. $d^2 = 1^2 + 2^2 = 5 \implies d = \sqrt{5} \approx 2,23\text{ km}$ Como $2,23 > 2$, o Bar $III$ está fora do alcance de $R$.

• Bar $IV(4, 6)$: $\Delta x = 6 - 4 = 2$ e $\Delta y = 7 - 6 = 1$. $d^2 = 2^2 + 1^2 = 5 \implies d = \sqrt{5} \approx 2,23\text{ km}$ Também está fora do alcance de $R$.

Os bares $II(4,5)$ e $V(3,4)$ estão ainda mais distantes de $R$, então já podem ser descartados.

Confirmando o Bar I

O Bar $I$ passa no teste de $R$. Falta confirmar se, estando no Bar $I(5, 6)$, o usuário $P$ também consegue match com $Q$ e $S$ (distância $\le 3\text{ km}$ em ambos os casos):

• Distância até $Q(3, 7)$: $\Delta x = 5 - 3 = 2 \quad\text{e}\quad \Delta y = 7 - 6 = 1$ $d^2 = 2^2 + 1^2 = 5 \implies d = \sqrt{5} \approx 2,23\text{ km} \le 3 \;\checkmark$

• Distância até $S(5, 3)$: $\Delta x = 5 - 5 = 0 \quad\text{e}\quad \Delta y = 6 - 3 = 3$ $d^2 = 0^2 + 3^2 = 9 \implies d = \sqrt{9} = 3\text{ km} \le 3 \;\checkmark$

A distância até $S$ é exatamente $3\text{ km}$, o limite do raio de $P$ — ainda vale o match.

Conclusão

O Bar $I$ é o único local que fica simultaneamente dentro da área de abrangência dos usuários $Q$, $R$ e $S$, respeitando também o raio definido pelo próprio $P$. A resposta é a alternativa A.