Questão 178 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos calcular a probabilidade de um evento composto: primeiro, o apostador escolhe uma moeda ao acaso e, em seguida, ele a lança. Queremos saber a chance de o resultado final ser uma face "cara". Podemos pensar nessa situação de duas maneiras diferentes, ambas chegando ao mesmo resultado.

Método 1: Contagem total de faces

Como o apostador escolhe uma das $5$ moedas ao acaso (todas têm a mesma chance de serem escolhidas) e depois a lança (ambas as faces da moeda escolhida têm a mesma chance de cair para cima), o processo é matematicamente equivalente a sortear, ao acaso, uma única face entre todas as faces de todas as moedas disponíveis.

Vamos contar o total de faces e quantas delas são "cara":

• Temos $5$ moedas no total. Como cada moeda tem $2$ faces, o número total de faces possíveis é $5 \times 2 = 10$ faces.
• Agora, vamos contar quantas dessas $10$ faces são "cara":
  • $2$ moedas têm "cara" nas duas faces: isso nos dá $2 \times 2 = 4$ faces "cara".
  • $1$ moeda tem "coroa" nas duas faces: isso nos dá $0$ faces "cara".
  • $2$ moedas são normais (uma "cara" e uma "coroa"): isso nos dá $2 \times 1 = 2$ faces "cara".

Somando tudo, temos $4 + 0 + 2 = 6$ faces "cara" no total.

A probabilidade de obter "cara" é simplesmente a razão entre o número de faces "cara" e o número total de faces: $P(\text{cara}) = \frac{6}{10}$

Simplificando a fração por $2$, obtemos: $P(\text{cara}) = \frac{3}{5}$

Método 2: Teorema da Probabilidade Total

Outra forma de pensar é calcular a probabilidade de tirar "cara" para cada tipo de moeda e somar esses cenários, ponderando pela chance de cada moeda ser escolhida.

1. Escolher uma moeda com duas "caras": A chance de pegar uma dessas moedas é $\frac{2}{5}$. Se ela for escolhida, a chance de dar "cara" no lançamento é $1$ (ou seja, $100\%$). Logo, a probabilidade desse cenário é: $\frac{2}{5} \times 1 = \frac{2}{5}$

2. Escolher a moeda com duas "coroas": A chance de pegar essa moeda é $\frac{1}{5}$. Se ela for escolhida, a chance de dar "cara" é $0$. Logo, a probabilidade desse cenário é: $\frac{1}{5} \times 0 = 0$

3. Escolher uma moeda normal: A chance de pegar uma dessas moedas é $\frac{2}{5}$. Se ela for escolhida, a chance de dar "cara" é $\frac{1}{2}$. Logo, a probabilidade desse cenário é: $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Somando as probabilidades de todos os cenários possíveis, temos a probabilidade total de obter "cara": $P(\text{cara}) = \frac{2}{5} + 0 + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

Ambos os raciocínios nos levam à mesma conclusão. A probabilidade de o apostador obter uma face "cara" é $\frac{3}{5}$.