Questão 162 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos calcular a área da região onde será colocada a terra vegetal. Essa região corresponde à área total do círculo subtraída da área do quadrado inscrito nele.

Primeiro, vamos calcular a área do jardim circular. O enunciado nos diz que o diâmetro do círculo é de $20 \text{ m}$. Como o raio ($r$) é a metade do diâmetro, temos: $r = \frac{20}{2} = 10 \text{ m}$

A fórmula da área do círculo é $A_{\text{círculo}} = \pi \cdot r^2$. Utilizando a aproximação $\pi \approx 3$ fornecida na questão, calculamos: $A_{\text{círculo}} = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot 100 = 300 \text{ m}^2$

Agora, precisamos calcular a área do quadrado inscrito. Quando um quadrado está inscrito em uma circunferência, a sua diagonal ($d$) é exatamente igual ao diâmetro da circunferência. Portanto, a diagonal do quadrado mede $20 \text{ m}$.

Podemos encontrar a área do quadrado a partir da sua diagonal. Chamando o lado do quadrado de $l$ e aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por dois lados e a diagonal, temos: $l^2 + l^2 = d^2$ $2l^2 = 20^2$ $2l^2 = 400$ $l^2 = 200$

Como a área do quadrado ($A_{\text{quadrado}}$) é dada por $l^2$, concluímos que: $A_{\text{quadrado}} = 200 \text{ m}^2$

A área destinada à terra vegetal ($A_{\text{terra}}$) é a diferença entre a área do círculo e a área do quadrado: $A_{\text{terra}} = A_{\text{círculo}} - A_{\text{quadrado}}$ $A_{\text{terra}} = 300 - 200 = 100 \text{ m}^2$

Por fim, o enunciado informa que serão usados $15 \text{ kg}$ de terra para cada metro quadrado e que a terra é vendida em sacos de exatos $15 \text{ kg}$. Isso significa que cada saco de terra fornece a quantidade exata para cobrir $1 \text{ m}^2$ do jardim.

Como a área total a ser coberta é de $100 \text{ m}^2$, o número mínimo de sacos necessários será exatamente $100$.