Questão 168 do ENEM 2010 — Matemática

O problema pede a altura $h$ em que a luminária deve ser instalada para iluminar uma determinada área circular. Pela figura, o feixe de luz forma um cone: a altura $h$, o raio $r$ da base (a área iluminada) e a geratriz $g$ (a lateral do cone) formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto no centro da base. A figura indica o valor da geratriz como $g = 5\text{ m}$.

Passo 1 — Encontrar o raio da área iluminada

A área iluminada é um círculo de $28,26\text{ m}^2$. Usando a fórmula da área do círculo com $\pi \cong 3,14$: $A = \pi \cdot r^2$

Substituindo os valores conhecidos: $28,26 = 3,14 \cdot r^2$

Isolando $r^2$: $r^2 = \frac{28,26}{3,14} = 9$

Como o raio é uma medida de comprimento (positivo): $r = \sqrt{9} = 3\text{ m}$

Passo 2 — Aplicar o Teorema de Pitágoras

No triângulo retângulo do cone, a geratriz $g$ é a hipotenusa, enquanto a altura $h$ e o raio $r$ são os catetos. Assim: $g^2 = h^2 + r^2$

Substituindo $g = 5\text{ m}$ (valor indicado na figura) e $r = 3\text{ m}$: $5^2 = h^2 + 3^2$ $25 = h^2 + 9$

Isolando $h^2$: $h^2 = 25 - 9 = 16$

Extraindo a raiz quadrada positiva (a altura é um comprimento): $h = \sqrt{16} = 4\text{ m}$

Portanto, a luminária deverá ser instalada a uma altura de $4\text{ m}$, o que corresponde à alternativa B.