Questão 162 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos organizar as informações e entender o que está sendo pedido. Temos três grupos de tábuas com comprimentos diferentes:

• $40$ tábuas de $540 \text{ cm}$
• $30$ tábuas de $810 \text{ cm}$
• $10$ tábuas de $1080 \text{ cm}$

O carpinteiro precisa cortar todas essas tábuas em pedaços de tamanhos iguais, sem deixar sobras. Além disso, o tamanho desses pedaços deve ser o maior possível, mas com uma restrição importante: deve ser menor que $2 \text{ m}$ (ou seja, menor que $200 \text{ cm}$).

Encontrando o tamanho ideal da peça

Sempre que precisamos dividir quantidades diferentes em partes iguais e do maior tamanho possível sem deixar restos, estamos falando de Máximo Divisor Comum (MDC). Vamos calcular o MDC entre os comprimentos das tábuas: $540$, $810$ e $1080$.

Podemos fazer isso fatorando os números em números primos:

• $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1$
• $810 = 2^1 \times 3^4 \times 5^1$
• $1080 = 2^3 \times 3^3 \times 5^1$

Para encontrar o MDC, pegamos os fatores primos comuns a todos os números, elevados aos menores expoentes:

$MDC(540, 810, 1080) = 2^1 \times 3^3 \times 5^1$ $MDC = 2 \times 27 \times 5 = 270$

O maior tamanho possível para os pedaços seria de $270 \text{ cm}$. No entanto, o enunciado impõe que o comprimento deve ser menor que $2 \text{ m}$ ($200 \text{ cm}$). Como $270 > 200$, não podemos usar esse valor.

Precisamos, então, encontrar o próximo maior divisor comum. Os divisores comuns de um conjunto de números são exatamente os divisores do seu MDC. Portanto, basta encontrar o maior divisor de $270$ que seja menor que $200$.

Vamos testar os maiores divisores de $270$:

• $270 \div 1 = 270$ (maior que $200$)
• $270 \div 2 = 135$

Como $135 \text{ cm}$ é menor que $200 \text{ cm}$, esse é o tamanho ideal para cada peça de madeira!

Calculando o total de peças

Agora que sabemos que cada pedaço terá $135 \text{ cm}$, vamos calcular quantas peças conseguimos obter de cada grupo de tábuas:

1. Tábuas de $540 \text{ cm}$: Dividindo o comprimento da tábua pelo tamanho da peça: $540 \div 135 = 4 \text{ peças por tábua}$ Como temos $40$ tábuas desse tamanho, o total é: $40 \times 4 = 160 \text{ peças}$

2. Tábuas de $810 \text{ cm}$: $810 \div 135 = 6 \text{ peças por tábua}$ Como temos $30$ tábuas desse tamanho, o total é: $30 \times 6 = 180 \text{ peças}$

3. Tábuas de $1080 \text{ cm}$: $1080 \div 135 = 8 \text{ peças por tábua}$ Como temos $10$ tábuas desse tamanho, o total é: $10 \times 8 = 80 \text{ peças}$

Conclusão

Para encontrar o número total de peças produzidas pelo carpinteiro, basta somar as quantidades obtidas de cada grupo:

$\text{Total} = 160 + 180 + 80 = 420 \text{ peças}$

Logo, o carpinteiro deverá produzir $420$ peças.