Questão 177 do ENEM 2009 — Matemática

ENEM 2009Matemática1ª aplicação

Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
A
Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
B
Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
Resposta correta
D
O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
E
O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Para entender como o artesão obteve uma face pentagonal, precisamos analisar a geometria da pirâmide e o que ocorre quando ela é cortada por um plano.

Uma pirâmide de base quadrada é um poliedro com 55 faces no total: 11 base quadrada e 44 faces laterais triangulares.

Quando um plano corta uma face plana de um poliedro, a interseção entre eles é um segmento de reta. O polígono resultante do corte da pirâmide inteira é formado pela união desses segmentos. Logo, o número de lados desse polígono é igual ao número de faces que o plano conseguir cortar.

Como o artesão obteve uma peça com face pentagonal, ou seja, um polígono de 55 lados, o plano precisou interceptar exatamente 55 faces da pirâmide. Como ela tem justamente 55 faces, isso é possível: basta inclinar o plano de modo a cortar a base e as quatro faces laterais. Esse raciocínio é o da alternativa C.

Analisando as alternativas:

  • A, B e E: incorretas, pois concluem que o polígono teria apenas 44 lados.
  • D: incorreta, pois afirma que qualquer corte gera 55 lados. Isso é falso: um corte paralelo à base intercepta apenas as 44 faces laterais, gerando um quadrado (44 lados).
  • C: correta, pois explica com precisão que a pirâmide tem 55 faces, que a interseção com cada face gera um segmento de reta e que, se o plano cortar todas as faces, o polígono terá 55 lados.

Ainda com dúvida nesta questão?

Crie sua conta gratuita e peça ao Darwin, o tutor de IA do Alvo, para explicar do seu jeito — e treine questões como esta na sua trilha adaptativa.

Fonte: prova oficial do ENEM 2009 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.