Questão 140 do ENEM 2018 — Matemática

O objetivo é descobrir qual caixa armazena a maior quantidade de potes.

A primeira coisa que devemos ter em mente é uma armadilha muito comum: não podemos simplesmente calcular o volume da caixa e dividir pelo volume do pote. Por que não? Porque os potes são objetos sólidos e rígidos. Quando colocamos cilindros lado a lado dentro de uma caixa retangular, sempre sobram "espaços vazios" entre eles que não podem ser preenchidos. Se estivéssemos lidando com um líquido, a conta de volume funcionaria, mas com sólidos precisamos analisar o encaixe dimensão por dimensão.

Entendendo o encaixe

Como os potes serão empilhados verticalmente (com as tampas para cima), cada pote vai ocupar um espaço na base da caixa que corresponde a um quadrado com o lado igual ao seu diâmetro. Além disso, a quantidade de "andares" de potes dependerá da altura da caixa.

As dimensões do nosso pote são:

• Diâmetro (espaço ocupado no comprimento e na largura): $4 \text{ cm}$
• Altura (espaço ocupado na vertical): $6 \text{ cm}$

Para saber quantos potes cabem em cada caixa, precisamos dividir o comprimento e a largura da caixa por $4 \text{ cm}$, e a altura da caixa por $6 \text{ cm}$.

Atenção: Como não podemos cortar um pote ao meio para aproveitar um espaço que sobrou, devemos considerar apenas a parte inteira do resultado dessas divisões. O resto é espaço vazio (desperdício).

Analisando os modelos de caixa

Vamos calcular a capacidade de cada modelo multiplicando a quantidade de potes que cabem no comprimento, na largura e na altura.

Modelo I ($8 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$)

• Comprimento: $8 \div 4 = 2$ potes
• Largura: $8 \div 4 = 2$ potes
• Altura: $40 \div 6 \approx 6,66$ (cabem $6$ potes e sobra espaço)
• Total: $2 \times 2 \times 6 = 24$ potes

Modelo II ($8 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 14 \text{ cm}$)

• Comprimento: $8 \div 4 = 2$ potes
• Largura: $20 \div 4 = 5$ potes
• Altura: $14 \div 6 \approx 2,33$ (cabem $2$ potes e sobra espaço)
• Total: $2 \times 5 \times 2 = 20$ potes

Modelo III ($18 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 35 \text{ cm}$)

• Comprimento: $18 \div 4 = 4,5$ (cabem $4$ potes)
• Largura: $5 \div 4 = 1,25$ (cabe $1$ pote)
• Altura: $35 \div 6 \approx 5,83$ (cabem $5$ potes)
• Total: $4 \times 1 \times 5 = 20$ potes

Modelo IV ($20 \text{ cm} \times 12 \text{ cm} \times 12 \text{ cm}$)

• Comprimento: $20 \div 4 = 5$ potes (encaixe perfeito)
• Largura: $12 \div 4 = 3$ potes (encaixe perfeito)
• Altura: $12 \div 6 = 2$ potes (encaixe perfeito)
• Total: $5 \times 3 \times 2 = 30$ potes

Modelo V ($24 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \times 14 \text{ cm}$)

• Comprimento: $24 \div 4 = 6$ potes
• Largura: $8 \div 4 = 2$ potes
• Altura: $14 \div 6 \approx 2,33$ (cabem $2$ potes)
• Total: $6 \times 2 \times 2 = 24$ potes

Conclusão

Comparando os resultados, vemos que o Modelo IV é o mais eficiente. Ele não deixa espaços vazios nas laterais ou no topo (todas as divisões foram exatas) e consegue armazenar um total de $30$ potes, superando todas as outras opções.

Portanto, o artesão deve adquirir o modelo IV.