Questão 136 do ENEM 2023 — Matemática

Para descobrir a massa da escultura, precisamos primeiro calcular o seu volume final. A escultura é o resultado de três etapas geométricas: começamos com um cone grande, removemos a ponta (um cone menor) para formar um tronco de cone, e por fim fazemos um furo cilíndrico no meio.

Vamos calcular o volume de cada uma dessas partes passo a passo.

Dimensões dos Cones

O cone original (maior) tem uma altura $H = 36 \text{ cm}$ e um diâmetro de base de $18 \text{ cm}$. O raio é a metade do diâmetro, logo, o raio da base maior é $R = 9 \text{ cm}$.

O cone menor, que é removido do topo, tem um diâmetro de base de $6 \text{ cm}$, o que nos dá um raio $r = 3 \text{ cm}$. Para encontrar a altura $h$ desse cone menor, podemos usar a semelhança de triângulos, já que ele é uma miniatura proporcional do cone maior:

$\frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Substituindo os valores conhecidos:

$\frac{h}{36} = \frac{3}{9}$

$\frac{h}{36} = \frac{1}{3}$

$h = \frac{36}{3} = 12 \text{ cm}$

Volumes dos Cones

A fórmula do volume de um cone é $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. O enunciado pede para usarmos $\pi = 3$. Assim, a fórmula fica simplificada para $V = r^2 h$.

Calculando o volume do cone maior ($V_{\text{maior}}$):

$V_{\text{maior}} = 9^2 \cdot 36 = 81 \cdot 36 = 2916 \text{ cm}^3$

Calculando o volume do cone menor ($V_{\text{menor}}$):

$V_{\text{menor}} = 3^2 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108 \text{ cm}^3$

O volume do tronco de cone ($V_{\text{tronco}}$), que é a peça antes de ser furada, é a diferença entre esses dois volumes:

$V_{\text{tronco}} = 2916 - 108 = 2808 \text{ cm}^3$

O Furo Cilíndrico

Agora, precisamos remover o volume do cilindro que perfura o tronco de base a base.

A altura desse cilindro ($h_{\text{cilindro}}$) será exatamente a altura do tronco de cone, que é a diferença entre a altura do cone maior e a do cone menor:

$h_{\text{cilindro}} = 36 - 12 = 24 \text{ cm}$

O diâmetro do cilindro é $6 \text{ cm}$, então seu raio é $r_{\text{cilindro}} = 3 \text{ cm}$. O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$. Usando $\pi = 3$:

$V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot 3^2 \cdot 24 = 3 \cdot 9 \cdot 24 = 27 \cdot 24 = 648 \text{ cm}^3$

Volume Final e Massa

O volume final da escultura ($V_{\text{final}}$) é o volume do tronco de cone menos o volume do furo cilíndrico:

$V_{\text{final}} = 2808 - 648 = 2160 \text{ cm}^3$

Por fim, a questão nos diz que a densidade da madeira é de $0,6 \text{ g/cm}^3$. Para encontrar a massa total, multiplicamos o volume pela densidade:

$\text{Massa} = 2160 \cdot 0,6 = 1296 \text{ g}$

Portanto, a massa da escultura é de $1.296,0 \text{ g}$.