Questão 138 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar as propriedades do polígono formado no interior da caixa cúbica.

O próprio enunciado nos afirma que o polígono $IMNKPQ$ é um hexágono regular. Em qualquer hexágono regular, podemos traçar um total de $9$ diagonais, que se dividem em dois grupos com comprimentos diferentes:

• Diagonais maiores: são aquelas que ligam vértices opostos, passando exatamente pelo centro do hexágono. O comprimento de uma diagonal maior é sempre igual ao dobro da medida do lado do hexágono.
• Diagonais menores: são aquelas que ligam vértices separados por apenas um vértice intermediário. Elas são mais curtas que as diagonais maiores.

Vamos observar a diagonal $IK$ mencionada no problema. Seguindo a ordem dos vértices no perímetro do hexágono ($I \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow K \rightarrow P \rightarrow Q \rightarrow I$), notamos que para ir do vértice $I$ até o vértice $K$, nós "pulamos" dois vértices ($M$ e $N$). Isso caracteriza $I$ e $K$ como vértices diametralmente opostos.

Portanto, concluímos que $IK$ é uma diagonal maior do hexágono.

Um hexágono regular possui exatamente $3$ diagonais maiores, que conectam os três pares de vértices opostos. São elas:

• $IK$
• $MP$
• $NQ$

O comando da questão nos pede para determinar quantas diagonais têm o mesmo comprimento de $IK$, distintas da própria $IK$. Como todas as diagonais maiores de um hexágono regular têm medidas iguais, estamos basicamente procurando as outras diagonais maiores.

Sabendo que existem $3$ diagonais maiores no total, ao desconsiderarmos a diagonal $IK$, restam apenas as diagonais $MP$ e $NQ$.

Logo, existem $2$ diagonais com o mesmo comprimento de $IK$.