Questão 161 do ENEM 2018 — Matemática

Análise das Estratégias

Para descobrir qual estratégia possibilita percorrer a maior distância, precisamos calcular a distância total que o automóvel consegue andar em cada uma delas. A distância percorrida com um determinado combustível é dada pelo produto entre o volume abastecido (em litros) e o rendimento desse combustível (em km/L).

Sabemos que a capacidade total do tanque é $T$.

1ª estratégia de viagem:

• Abastece-se meio tanque com o combustível A: o volume é $\frac{T}{2}$. Como o rendimento de A é $18 \text{ km/L}$, a distância percorrida será $\frac{T}{2} \cdot 18 = 9T \text{ km}$.
• Abastece-se um quarto de tanque com o combustível B: o volume é $\frac{T}{4}$. Como o rendimento de B é $12 \text{ km/L}$, a distância percorrida será $\frac{T}{4} \cdot 12 = 3T \text{ km}$.
• Distância total da 1ª estratégia: $9T + 3T = 12T \text{ km}$.

2ª estratégia de viagem:

• Abastece-se meio tanque com o combustível B: o volume é $\frac{T}{2}$. A distância percorrida será $\frac{T}{2} \cdot 12 = 6T \text{ km}$.
• Abastece-se um quarto de tanque com o combustível A: o volume é $\frac{T}{4}$. A distância percorrida será $\frac{T}{4} \cdot 18 = 4,5T \text{ km}$.
• Distância total da 2ª estratégia: $6T + 4,5T = 10,5T \text{ km}$.

Comparando os resultados, vemos que a 1ª estratégia ($12T \text{ km}$) possibilita percorrer uma distância maior do que a 2ª estratégia ($10,5T \text{ km}$).

Cálculo do Custo

Agora que sabemos que a 1ª estratégia é a mais vantajosa em termos de distância, precisamos calcular o seu custo $C$. O custo é obtido multiplicando-se a quantidade de litros abastecida pelo preço do respectivo combustível.

Na 1ª estratégia, temos:

• $\frac{T}{2}$ litros do combustível A, cujo preço é $P_A$. O custo dessa etapa é $\left( \frac{T}{2} \right) \cdot P_A$.
• $\frac{T}{4}$ litros do combustível B, cujo preço é $P_B$. O custo dessa etapa é $\left( \frac{T}{4} \right) \cdot P_B$.

Somando os valores, o custo total $C$ da estratégia escolhida é: $C = \left( \frac{T}{2} \right) \cdot P_A + \left( \frac{T}{4} \right) \cdot P_B$

Essa expressão corresponde exatamente à primeira alternativa.