Questão 160 do ENEM 2010 — Matemática

Queremos descobrir a altura do balão, que chamaremos de $h$. A situação forma triângulos retângulos: a altura do balão é o cateto vertical (oposto ao ângulo de visão), a distância horizontal de cada observador até o ponto abaixo do balão é o cateto horizontal (adjacente), e a linha de visão é a hipotenusa.

Como temos um ângulo e o cateto adjacente, e queremos o cateto oposto, a razão trigonométrica certa é a tangente: $\tan(\text{ângulo}) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$

Usando o primeiro observador (dados que estão no enunciado): Ele está a $1,8\text{ km}$ da posição vertical do balão e o vê sob $60^\circ$. Então: $\tan(60^\circ) = \frac{h}{1,8}$

Lembrando que $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$: $\sqrt{3} = \frac{h}{1,8} \implies h = 1,8 \cdot \sqrt{3}$

Usando a aproximação usual $\sqrt{3} \approx 1,73$: $h \approx 1,8 \cdot 1,73 \approx 3,11\text{ km}$

Já com esse único cálculo — feito só com os dados do texto — chegamos à altura aproximada de 3,1 km, que é a alternativa C.

Verificação pelo segundo observador (opcional): Segundo a figura, os dois observadores estão separados por $3,7\text{ km}$ (o trecho entre os pontos A e B). Assim, o segundo observador está a $1,8 + 3,7 = 5,5\text{ km}$ do ponto abaixo do balão e o vê sob $30^\circ$: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{5,5}, \qquad \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $h = 5,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 5,5 \cdot 0,577 \approx 3,17\text{ km}$

Os dois caminhos apontam para valores bem próximos (há uma pequena imprecisão nos dados: para os ângulos serem exatos, a distância total deveria ser cerca de $5,4\text{ km}$). Como o comando pede a altura aproximada, ambos confirmam:

A altura aproximada do balão é de 3,1 km — alternativa C.