Questão 138 do ENEM 2013 — Matemática

ENEM 2013Matemática1ª aplicação

Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:
$\dfrac{62^6}{10^6}$
Resposta correta
B
$\dfrac{62!}{10!}$
C
$\dfrac{62!\,4!}{10!\,56!}$
D
$62! - 10!$
E
$62^6 - 10^6$
Gabarito oficial: alternativa A

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos calcular o número total de senhas possíveis no sistema antigo e no sistema novo. O problema nos pede o coeficiente de melhora, que é definido como a razão (divisão) entre o novo número de possibilidades e o antigo.

Para encontrar o total de combinações em cada caso, utilizaremos o Princípio Fundamental da Contagem, que estabelece que se um evento é composto por várias etapas sucessivas e independentes, o número total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa.

Sistema Antigo

No sistema original, a senha é formada por 66 dígitos, e apenas os algarismos de 00 a 99 podem ser usados. Isso significa que temos 1010 opções para cada uma das 66 posições da senha.

Como podemos repetir os algarismos, o número total de senhas possíveis é: 10×10×10×10×10×10=10610 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6

Sistema Novo

No novo sistema, a senha continua tendo 66 posições, mas o conjunto de caracteres permitidos aumentou. Agora, podemos usar:

  • Algarismos de 00 a 99: 1010 opções
  • Letras maiúsculas do alfabeto: 2626 opções
  • Letras minúsculas do alfabeto: 2626 opções (já que o sistema diferencia maiúsculas de minúsculas)

Somando tudo, temos um total de opções para cada posição igual a: 10+26+26=62 opc¸o˜es10 + 26 + 26 = 62 \text{ opções}

Como a senha tem 66 posições e os caracteres podem se repetir, o novo número total de senhas possíveis é: 62×62×62×62×62×62=62662 \times 62 \times 62 \times 62 \times 62 \times 62 = 62^6

Coeficiente de Melhora

O enunciado define o coeficiente de melhora como a razão do novo número de possibilidades em relação ao antigo. Portanto, basta dividir o valor encontrado para o sistema novo pelo valor do sistema antigo:

Coeficiente=626106\text{Coeficiente} = \frac{62^6}{10^6}

Essa expressão representa exatamente o quanto o novo sistema é mais seguro que o anterior, correspondendo à alternativa correta.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2013 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.