Questão 159 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos relacionar a área do círculo inscrito com as medidas do hexágono regular.

Primeiro, vamos usar a informação da área do círculo para encontrar o seu raio ($r$). A fórmula da área do círculo é dada por: $A_{\text{círculo}} = \pi \cdot r^2$

O enunciado nos diz que a área do círculo é $3\pi$. Igualando as duas expressões, temos: $\pi \cdot r^2 = 3\pi$

Dividindo ambos os lados por $\pi$, encontramos o quadrado do raio: $r^2 = 3$ $r = \sqrt{3} \text{ m}$

Agora, precisamos entender a relação geométrica entre o círculo inscrito e o hexágono regular. Um hexágono regular pode ser dividido em $6$ triângulos equiláteros idênticos a partir do seu centro. O raio do círculo inscrito tangencia os lados do hexágono exatamente no ponto médio. Isso significa que o raio ($r$) do círculo corresponde à altura ($h$) de um desses triângulos equiláteros (também conhecida como apótema do hexágono).

A fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado $L$ é: $h = \frac{L\sqrt{3}}{2}$

Como sabemos que a altura é igual ao raio ($h = r = \sqrt{3}$), podemos substituir esse valor na fórmula para encontrar a medida do lado $L$ do hexágono: $\sqrt{3} = \frac{L\sqrt{3}}{2}$

Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$: $1 = \frac{L}{2}$ $L = 2 \text{ m}$

Com a medida do lado do hexágono em mãos, podemos calcular a sua área total. A área do hexágono regular ($A_{\text{hexágono}}$) é igual a $6$ vezes a área de um triângulo equilátero: $A_{\text{hexágono}} = 6 \cdot \left( \frac{L^2\sqrt{3}}{4} \right)$

Substituindo $L = 2$ na equação: $A_{\text{hexágono}} = 6 \cdot \left( \frac{2^2\sqrt{3}}{4} \right)$ $A_{\text{hexágono}} = 6 \cdot \left( \frac{4\sqrt{3}}{4} \right)$ $A_{\text{hexágono}} = 6\sqrt{3} \text{ m}^2$

Portanto, a área do hexágono é $6\sqrt{3}$ metros quadrados.