Questão 143 do ENEM 2017 — Matemática

O problema nos pede para descobrir quantos modelos diferentes de caminhão-cegonha podem ser montados. O enunciado traz uma informação crucial: "Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo". Isso significa que a ordem em que os carrinhos são colocados não importa. O que define um modelo é exclusivamente a quantidade de carrinhos de cada cor.

Traduzindo o problema

Temos $10$ carrinhos para pintar usando $4$ cores disponíveis (amarelo, branco, laranja e verde). Se chamarmos as quantidades de cada cor de $A$, $B$, $L$ e $V$, podemos representar a situação pela equação:

$A + B + L + V = 10$

No entanto, há uma restrição importante: a empresa exige que haja pelo menos um carrinho de cada cor no caminhão. Ou seja, nenhuma cor pode ficar com zero carrinhos.

Lidando com a restrição

Para garantir que essa regra seja cumprida sem complicar os cálculos, vamos "pagar essa dívida" logo de cara. Pegamos $4$ dos $10$ carrinhos e pintamos um de cada cor. Como a posição deles no caminhão não importa, essa ação inicial é única e não gera variações de modelos.

Agora, vamos ver o que sobrou para distribuirmos livremente:

$10 - 4 = 6 \text{ carrinhos restantes}$

O nosso problema foi simplificado: de quantas maneiras podemos pintar esses $6$ carrinhos usando as $4$ cores? Como já garantimos um de cada cor no passo anterior, esses $6$ carrinhos podem ser pintados de qualquer forma (podemos pintar todos de amarelo, ou misturar as cores como quisermos).

O método de "Bolas e Tracinhos"

Para resolver essa distribuição onde a ordem não importa e podemos repetir as escolhas, usamos a Combinação com Repetição (ou Combinação Completa). A forma mais intuitiva de visualizar isso é pelo método de "bolas e tracinhos".

Vamos representar os $6$ carrinhos que faltam pintar como bolinhas ($\bullet$) e as $4$ opções de cores como espaços separados por tracinhos ($|$).

Para separar $4$ espaços (representando as $4$ cores), precisamos de exatamente $3$ tracinhos. Por exemplo, a configuração $\bullet \bullet | \bullet | \bullet \bullet | \bullet$ significaria que escolhemos $2$ carrinhos da primeira cor, $1$ da segunda, $2$ da terceira e $1$ da quarta.

Ao todo, nossa representação terá os $6$ carrinhos (bolinhas) e os $3$ separadores (tracinhos), totalizando:

$6 + 3 = 9 \text{ posições na fila}$

Calculando as combinações

Para descobrir o total de modelos distintos, só precisamos decidir em quais dessas $9$ posições vamos colocar os $3$ tracinhos. Os espaços que sobrarem serão automaticamente preenchidos pelas bolinhas.

Como os tracinhos são idênticos entre si (a ordem de escolha deles não importa), calculamos isso através de uma combinação simples de $9$ elementos tomados $3$ a $3$:

$C_{9,3}$

(Nota: Se escolhêssemos as posições das bolinhas em vez dos tracinhos, teríamos $C_{9,6}$, que dá exatamente o mesmo resultado, pois são combinações complementares).

Analisando as alternativas, encontramos exatamente essa expressão.