Questão 178 do ENEM 2022 — Matemática

Vamos ligar a quantidade de camarões à área do viveiro e, depois, usar a fórmula da área do trapézio para descobrir de quanto a base menor precisa crescer.

Relação entre produção e área

O padrão de qualidade exige uma densidade de $10$ camarões por metro quadrado. Com a produção atual de $6\,000$ camarões, a área atual ($A_1$) do viveiro é o total de camarões dividido pela densidade: $A_1 = \frac{6\,000}{10} = 600 \text{ m}^2$

O produtor quer aumentar a capacidade em $2\,400$ camarões. Mantendo a mesma densidade, a área adicional ($\Delta A$) necessária é: $\Delta A = \frac{2\,400}{10} = 240 \text{ m}^2$

Calculando o aumento da base menor

A área do trapézio é dada por: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$ onde $B$ é a base maior, $b$ é a base menor e $h$ é a altura.

Como a ampliação será feita modificando apenas a base menor, a base maior ($B = 45 \text{ m}$) e a altura ($h = 20 \text{ m}$) ficam constantes. Assim, o aumento da área depende apenas do aumento da base menor ($\Delta b$): $\Delta A = \frac{\Delta b \cdot h}{2}$

Substituindo $\Delta A = 240 \text{ m}^2$ e $h = 20 \text{ m}$: $240 = \frac{\Delta b \cdot 20}{2}$ $240 = \Delta b \cdot 10$ $\Delta b = \frac{240}{10} = 24 \text{ m}$

Portanto, a base menor deverá ser aumentada em $24 \text{ metros}$, o que corresponde à alternativa B.

(Conferindo: a base menor atual seria $b_1 = 15 \text{ m}$, gerando a área de $600 \text{ m}^2$; a nova base menor passaria a $b_2 = 39 \text{ m}$, para a área total de $840 \text{ m}^2$. A diferença é $39 - 15 = 24 \text{ m}$, exatamente o valor obtido de forma direta.)