Questão 139 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre as dimensões da porta e o seu custo de fabricação. O enunciado nos diz que a porta é maciça e feita de um mesmo material, o que significa que o custo é diretamente proporcional ao volume de madeira utilizado.

O Volume da Porta

Uma porta tem o formato de um paralelepípedo retângulo. O volume ($V$) de um paralelepípedo é calculado multiplicando-se suas três dimensões: altura ($h$), largura ($l$) e espessura ($e$). $V = h \cdot l \cdot e$

Vamos chamar as dimensões da porta original de $h_1$, $l_1$ e $e_1$. Assim, o volume original é: $V_1 = h_1 \cdot l_1 \cdot e_1$

Para a nova porta, teremos novas dimensões $h_2$, $l_2$ e $e_2$, e um novo volume $V_2$: $V_2 = h_2 \cdot l_2 \cdot e_2$

Analisando as Mudanças

O problema nos dá três informações cruciais sobre a nova porta:

1. A espessura foi preservada: Logo, $e_2 = e_1$.
2. O custo com o material foi mantido: Isso significa que o volume de madeira não mudou, ou seja, $V_2 = V_1$.
3. A altura aumentou em $\frac{1}{8}$: Para calcular a nova altura, somamos $\frac{1}{8}$ da altura original à própria altura original: $h_2 = h_1 + \frac{1}{8}h_1 = \left(1 + \frac{1}{8}\right)h_1 = \frac{9}{8}h_1$

Calculando a Razão Pedida

O comando da questão pede a razão entre a largura da nova porta ($l_2$) e a largura da porta anterior ($l_1$), ou seja, queremos encontrar o valor da fração $\frac{l_2}{l_1}$.

Como os volumes são iguais ($V_2 = V_1$), podemos igualar as expressões: $h_2 \cdot l_2 \cdot e_2 = h_1 \cdot l_1 \cdot e_1$

Substituindo as informações que descobrimos ($e_2 = e_1$ e $h_2 = \frac{9}{8}h_1$): $\frac{9}{8}h_1 \cdot l_2 \cdot e_1 = h_1 \cdot l_1 \cdot e_1$

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $h_1$ e por $e_1$ (já que representam medidas reais e são diferentes de zero): $\frac{9}{8} \cdot l_2 = l_1$

Agora, para encontrar a razão $\frac{l_2}{l_1}$, basta isolar essa fração. Passamos o $l_1$ dividindo para o lado esquerdo e a fração $\frac{9}{8}$ invertida para o lado direito: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{8}{9}$

Conclusão

A razão entre a nova largura e a largura anterior é $\frac{8}{9}$. Isso faz todo o sentido prático: como a altura e a largura são grandezas inversamente proporcionais quando o volume e a espessura são constantes, se multiplicamos a altura por um fator (neste caso, $\frac{9}{8}$), devemos multiplicar a largura pelo fator inverso ($\frac{8}{9}$) para compensar o aumento e manter o mesmo gasto de material.

Uma armadilha comum seria pensar que, se a altura aumentou $\frac{1}{8}$, a largura deveria diminuir $\frac{1}{8}$ (o que daria $\frac{7}{8}$). No entanto, a compensação para manter um produto constante se dá por proporção (multiplicação e divisão), e não por soma e subtração.