Questão 174 do ENEM 2025 — Matemática

⚠️ Questão anulada pelo INEP

Esta questão foi anulada pelo INEP, com outras duas do 2º dia do ENEM 2025, por ter sido "previamente exposta". Cinco dias antes da prova, um estudante que havia participado dos pré-testes sigilosos do INEP apresentou numa live no YouTube uma questão de parcelamento muito parecida com esta, semelhança confirmada na apuração feita junto ao INEP. O órgão frisou que nenhuma questão apareceu idêntica na prova, mas anulou o item por precaução, para garantir igualdade entre todos os candidatos. Na prática, ela simplesmente saiu do cálculo da nota: como o ENEM usa TRI, o item deixa de contar para todo mundo. Vale resolvê-la como treino — progressões e matemática financeira continuam caindo na prova.

Entendendo o Problema

Temos um carro que custa R$ 60.000,00 e duas opções de pagamento sem juros. O valor total pago será o mesmo em ambas as opções.

Na opção 1, o pagamento é feito em $n$ parcelas iguais. Assim, o valor de cada parcela ($V_1$) será o valor total dividido pelo número de parcelas: $V_1 = \frac{60000}{n}$

Na opção 2, o pagamento é feito em $n + 6$ parcelas iguais. Logo, o valor de cada parcela ($V_2$) será: $V_2 = \frac{60000}{n + 6}$

O enunciado nos diz que o valor da parcela na opção 2 é R$ 500,00 menor do que na opção 1. Podemos escrever isso matematicamente como: $V_1 - V_2 = 500$

Montando e Resolvendo a Equação

Substituindo as expressões que encontramos para $V_1$ e $V_2$ na equação acima, temos: $\frac{60000}{n} - \frac{60000}{n + 6} = 500$

Para facilitar os cálculos e trabalhar com números menores, podemos dividir toda a equação por $500$: $\frac{120}{n} - \frac{120}{n + 6} = 1$

Agora, precisamos tirar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores, que é $n(n + 6)$, e multiplicar toda a equação por esse valor para eliminar as frações: $120(n + 6) - 120n = n(n + 6)$

Fazendo a distributiva em ambos os lados: $120n + 720 - 120n = n^2 + 6n$

Simplificando os termos semelhantes ($120n - 120n = 0$), chegamos a uma equação do segundo grau: $720 = n^2 + 6n$ $n^2 + 6n - 720 = 0$

Encontrando o Número de Parcelas

Para resolver essa equação do segundo grau, podemos usar a fórmula de Bhaskara. Primeiro, calculamos o discriminante ($\Delta$): $\Delta = b^2 - 4ac$ $\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-720)$ $\Delta = 36 + 2880$ $\Delta = 2916$

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar os valores de $n$: $n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ $n = \frac{-6 \pm \sqrt{2916}}{2 \cdot 1}$

Sabendo que $\sqrt{2916} = 54$, temos: $n = \frac{-6 \pm 54}{2}$

Isso nos dá duas possíveis soluções: $n_1 = \frac{-6 + 54}{2} = \frac{48}{2} = 24$ $n_2 = \frac{-6 - 54}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Como $n$ representa uma quantidade de parcelas, não faz sentido termos um valor negativo. Portanto, descartamos o $-30$ e ficamos apenas com $n = 24$.

Isso significa que, na opção 1, o carro será pago em $24$ parcelas. (A título de curiosidade, cada parcela seria de R$ 2.500,00. Na opção 2, seriam $30$ parcelas de R$ 2.000,00, o que confirma a diferença de R$ 500,00).