Questão 178 do ENEM 2016 — Matemática

O problema pede a probabilidade de que pelo menos um dos dois — o homem ou a mulher — esteja vivo daqui a $50$ anos.

Comecemos organizando os dados do enunciado:

• Probabilidade de o homem estar vivo: $20\%$, ou seja, $P(H) = 0{,}2$.
• Probabilidade de a mulher estar viva: $30\%$, ou seja, $P(M) = 0{,}3$.

Quando o problema pede a chance de "pelo menos um" evento ocorrer, há dois caminhos que levam à mesma resposta. Vamos explorar ambos.

Método 1: evento complementar

A situação "pelo menos um está vivo" é o exato oposto (complementar) de "ambos estão mortos". Como a soma de todos os cenários possíveis é sempre $100\%$ (ou $1$), basta calcular a chance de os dois não estarem vivos e subtrair do total.

Chance de o homem não estar vivo: $P(\overline{H}) = 100\% - 20\% = 80\% = 0{,}8$

Chance de a mulher não estar viva: $P(\overline{M}) = 100\% - 30\% = 70\% = 0{,}7$

Como a sobrevivência de um é independente da do outro, a chance de ambos não estarem vivos é o produto: $P(\text{ambos mortos}) = 0{,}8 \times 0{,}7 = 0{,}56 = 56\%$

Logo, a chance de pelo menos um estar vivo é: $P(\text{pelo menos um vivo}) = 100\% - 56\% = 44\%$

Método 2: união de eventos

Também podemos usar a fórmula da probabilidade da união, que dá a chance de o evento $H$ (homem vivo) ou o evento $M$ (mulher viva) acontecer: $P(H \cup M) = P(H) + P(M) - P(H \cap M)$

Como os eventos são independentes, $P(H \cap M) = P(H) \times P(M)$: $P(H \cap M) = 0{,}2 \times 0{,}3 = 0{,}06$

Substituindo: $P(H \cup M) = 0{,}2 + 0{,}3 - 0{,}06 = 0{,}5 - 0{,}06 = 0{,}44$

Ou seja, $44\%$.

Os dois métodos levam ao mesmo resultado. A probabilidade de que pelo menos um deles esteja vivo daqui a $50$ anos é de $44\%$, o que corresponde à alternativa B.