Questão 145 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar o tempo necessário para que o capital inicial dobre de valor em uma aplicação de juros compostos.

A fórmula dada pelo enunciado é: $F = C(1 + x)^n$

Onde:

• $F$ é o montante final.
• $C$ é o capital inicial.
• $x$ é a taxa de rendimento mensal.
• $n$ é o número de meses.

O casal deseja que o capital inicial dobre, ou seja, o valor final $F$ deve ser igual a duas vezes o capital inicial ($F = 2C$). A taxa de rendimento é de $0,8\%$ ao mês, o que em forma decimal é $x = 0,008$.

Substituindo essas informações na fórmula, temos: $2C = C(1 + 0,008)^n$

Podemos dividir ambos os lados da equação por $C$ (já que o capital inicial é diferente de zero): $2 = (1,008)^n$

Para resolver uma equação onde a incógnita está no expoente, utilizamos logaritmos. Aplicando o logaritmo na base $10$ em ambos os lados da igualdade: $\log(2) = \log(1,008^n)$

Utilizando a propriedade do logaritmo de uma potência ($\log(a^b) = b \cdot \log(a)$), o expoente $n$ passa multiplicando: $\log(2) = n \cdot \log(1,008)$

Agora, consultamos a tabela fornecida no enunciado para encontrar os valores dos logaritmos:

• Para $Y = 2$, temos $\log(2) = 0,30$.
• Para $Y = 1,008$, temos $\log(1,008) = 0,003$.

Substituindo esses valores na nossa equação: $0,30 = n \cdot 0,003$

Isolando o $n$: $n = \frac{0,30}{0,003}$

Para facilitar a divisão, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $1.000$, eliminando as casas decimais: $n = \frac{300}{3}$ $n = 100$

Portanto, o casal precisará manter a aplicação por $100$ meses para que o capital inicial duplique.