Questão 166 do ENEM 2016 — Matemática

A decisão da família depende de um único critério objetivo: o terreno precisa ter área de pelo menos $400\text{ m}^2$. Então o caminho é calcular a área de cada lote e, a partir daí, julgar qual argumento está correto.

Área do Lote 1 (paralelogramo)

O Lote 1 é um paralelogramo, e a área de um paralelogramo é o produto da base pela altura ($A = b \cdot h$). Quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, a altura pode ser obtida com trigonometria: traçando a altura relativa à base, formamos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado oblíquo e cujo ângulo é o do vértice. Assim,

$\text{sen}(60^\circ) = \frac{h}{\text{lado oblíquo}} \;\Rightarrow\; h = \text{lado oblíquo} \cdot \text{sen}(60^\circ).$

Substituindo na fórmula da área, chega-se à expressão geral $A = b \cdot \ell \cdot \text{sen}(\theta)$, onde $b$ e $\ell$ são os lados e $\theta$ o ângulo entre eles. Com os valores do Lote 1 (base $30\text{ m}$, lado $15\text{ m}$ e ângulo $60^\circ$):

$A_1 = 30 \cdot 15 \cdot \text{sen}(60^\circ) = 450 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 225\sqrt{3}.$

Usando a aproximação $\sqrt{3} \approx 1,7$:

$A_1 = 225 \cdot 1,7 = 382,5\text{ m}^2.$

Área do Lote 2 (retângulo)

O Lote 2 é um retângulo — um caso particular de paralelogramo em que os ângulos internos valem $90^\circ$, de modo que $\text{sen}(90^\circ) = 1$ e a área é simplesmente base vezes altura:

$A_2 = 30 \cdot 15 = 450\text{ m}^2.$

Comparando com a exigência

A família precisa de pelo menos $400\text{ m}^2$:

• Lote 1: $382,5\text{ m}^2$ → não atende (fica abaixo de $400$).
• Lote 2: $450\text{ m}^2$ → atende.

Note uma sutileza importante: embora os dois lotes tenham os mesmos lados ($30\text{ m}$ e $15\text{ m}$) e, portanto, o mesmo perímetro ($90\text{ m}$), suas áreas são diferentes, porque a área do paralelogramo depende do ângulo entre os lados. Mesmo perímetro não garante mesma área.

Avaliando cada argumento

• Pai: errado. Ele associa maior diagonal a maior área, mas o Lote 1 ($382,5\text{ m}^2$) tem área menor que o Lote 2 ($450\text{ m}^2$).
• Mãe: errada. Mesmo perímetro não implica mesma área, como mostram os $90\text{ m}$ de perímetro em ambos e áreas distintas.
• Filho 1: correto. O Lote 2 é o único cuja área ($450\text{ m}^2$) atinge o mínimo de $400\text{ m}^2$ exigido pelo projeto.
• Filho 2: errado. Lados iguais não garantem áreas iguais, justamente por causa da influência do ângulo na altura.
• Corretor: errado. Verificando o custo por metro quadrado: Lote 1 $= \frac{100\,000}{382,5} \approx$ R$ 261,44 por m²; Lote 2 $= \frac{150\,000}{450} \approx$ R$ 333,33 por m². O menor custo por metro quadrado é o do Lote 1, não o do Lote 2.

Assim, a única pessoa que argumentou corretamente foi o Filho 1, e a resposta é a alternativa C.