Questão 172 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos entender exatamente o que o casal deseja minimizar: a área de revestimento da piscina. Como a piscina tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo (uma "caixa" retangular) e é aberta no topo, o revestimento será aplicado apenas no fundo e nas quatro paredes laterais.

A Fórmula do Revestimento

Vamos chamar as dimensões de profundidade de $P$, largura de $L$ e comprimento de $C$.

A área total a ser revestida ($A_t$) é a soma da área do fundo com a área das quatro paredes laterais.

• Área do fundo: é um retângulo de lados $L$ e $C$, logo, sua área é $L \cdot C$.
• Área das paredes: temos duas paredes de dimensões $P$ e $L$ (área $2 \cdot P \cdot L$) e duas paredes de dimensões $P$ e $C$ (área $2 \cdot P \cdot C$).

Podemos escrever a fórmula da área total de revestimento como: $A_t = (L \cdot C) + 2 \cdot P \cdot (L + C)$

Agora, nosso trabalho é aplicar essa fórmula para cada um dos cinco projetos e descobrir qual deles resulta no menor valor.

Calculando a Área de Cada Projeto

Projeto I

• Dimensões: $P = 1,8\text{ m}$, $L = 2,0\text{ m}$ e $C = 25,0\text{ m}$
• Fundo: $2,0 \cdot 25,0 = 50,0\text{ m}^2$
• Paredes: $2 \cdot 1,8 \cdot (2,0 + 25,0) = 3,6 \cdot 27,0 = 97,2\text{ m}^2$
• Área Total: $50,0 + 97,2 = 147,2\text{ m}^2$

Projeto II

• Dimensões: $P = 2,0\text{ m}$, $L = 5,0\text{ m}$ e $C = 9,0\text{ m}$
• Fundo: $5,0 \cdot 9,0 = 45,0\text{ m}^2$
• Paredes: $2 \cdot 2,0 \cdot (5,0 + 9,0) = 4,0 \cdot 14,0 = 56,0\text{ m}^2$
• Área Total: $45,0 + 56,0 = 101,0\text{ m}^2$

Projeto III

• Dimensões: $P = 1,0\text{ m}$, $L = 6,0\text{ m}$ e $C = 15,0\text{ m}$
• Fundo: $6,0 \cdot 15,0 = 90,0\text{ m}^2$
• Paredes: $2 \cdot 1,0 \cdot (6,0 + 15,0) = 2,0 \cdot 21,0 = 42,0\text{ m}^2$
• Área Total: $90,0 + 42,0 = 132,0\text{ m}^2$

Projeto IV

• Dimensões: $P = 1,5\text{ m}$, $L = 15,0\text{ m}$ e $C = 4,0\text{ m}$
• Fundo: $15,0 \cdot 4,0 = 60,0\text{ m}^2$
• Paredes: $2 \cdot 1,5 \cdot (15,0 + 4,0) = 3,0 \cdot 19,0 = 57,0\text{ m}^2$
• Área Total: $60,0 + 57,0 = 117,0\text{ m}^2$

Projeto V

• Dimensões: $P = 2,5\text{ m}$, $L = 3,0\text{ m}$ e $C = 12,0\text{ m}$
• Fundo: $3,0 \cdot 12,0 = 36,0\text{ m}^2$
• Paredes: $2 \cdot 2,5 \cdot (3,0 + 12,0) = 5,0 \cdot 15,0 = 75,0\text{ m}^2$
• Área Total: $36,0 + 75,0 = 111,0\text{ m}^2$

Conclusão

Comparando os resultados obtidos, temos as seguintes áreas de revestimento:

• Projeto I: $147,2\text{ m}^2$
• Projeto II: $101,0\text{ m}^2$
• Projeto III: $132,0\text{ m}^2$
• Projeto IV: $117,0\text{ m}^2$
• Projeto V: $111,0\text{ m}^2$

O projeto que exige a menor área de revestimento é o Projeto II, com $101,0\text{ m}^2$. Note que todos os projetos possuem o mesmo volume (capacidade de $90.000\text{ L}$ ou $90\text{ m}^3$), mas o formato mais "compacto" do Projeto II otimiza a relação entre o volume e a área de superfície, gerando a maior economia de cerâmica para o casal.