Questão 142 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar duas condições principais dadas pelo enunciado: o objeto cúbico deve caber dentro da caixa e o espaço livre no interior da caixa deve ser o menor possível.

Verificando se o objeto cabe nas caixas

O objeto é um cubo com $80 \text{ cm}$ de aresta. Como ele não pode ser desmontado, para que caiba em uma caixa, todas as três dimensões da caixa (comprimento, largura e altura) devem ser maiores ou iguais a $80 \text{ cm}$.

Vamos analisar as opções disponíveis:

• Caixa 1: $86 \text{ cm} \times 86 \text{ cm} \times 86 \text{ cm}$ (Cabe, pois todas as dimensões são $\ge 80 \text{ cm}$)
• Caixa 2: $75 \text{ cm} \times 82 \text{ cm} \times 90 \text{ cm}$ (Não cabe, pois uma das dimensões é $75 \text{ cm}$, que é menor que $80 \text{ cm}$)
• Caixa 3: $85 \text{ cm} \times 82 \text{ cm} \times 90 \text{ cm}$ (Cabe)
• Caixa 4: $82 \text{ cm} \times 95 \text{ cm} \times 82 \text{ cm}$ (Cabe)
• Caixa 5: $80 \text{ cm} \times 95 \text{ cm} \times 85 \text{ cm}$ (Cabe)

Logo, descartamos a Caixa 2.

Minimizando o espaço livre

O espaço livre dentro da caixa é a diferença entre o volume da caixa e o volume do objeto cúbico. Como o volume do objeto é sempre o mesmo, para que sobre o menor espaço livre, precisamos escolher a caixa que possua o menor volume total.

O volume de um paralelepípedo (formato das caixas) é calculado multiplicando-se suas três dimensões: $V = \text{comprimento} \times \text{largura} \times \text{altura}$

Vamos calcular o volume das caixas que restaram:

• Volume da Caixa 1: $V_1 = 86 \times 86 \times 86 = 636.056 \text{ cm}^3$

• Volume da Caixa 3: $V_3 = 85 \times 82 \times 90 = 6.970 \times 90 = 627.300 \text{ cm}^3$

• Volume da Caixa 4: $V_4 = 82 \times 95 \times 82 = 7.790 \times 82 = 638.780 \text{ cm}^3$

• Volume da Caixa 5: $V_5 = 80 \times 95 \times 85 = 7.600 \times 85 = 646.000 \text{ cm}^3$

Comparando os resultados, observamos que a Caixa 3 possui o menor volume ($627.300 \text{ cm}^3$) entre as caixas que comportam o objeto. Consequentemente, ela é a que deixará o menor espaço livre em seu interior.