Questão 149 do ENEM 2016 — Matemática

Para descobrir o número de voltas que a roda de uma bicicleta dá ao percorrer uma certa distância, precisamos primeiro saber qual é a distância percorrida em uma única volta. Essa distância corresponde ao comprimento da circunferência da roda.

A fórmula para o comprimento da circunferência é dada por: $C = \pi \cdot D$ onde $D$ é o diâmetro da roda.

O número total de voltas ($N$) que a roda efetua é a distância total percorrida ($d$) dividida pelo comprimento da circunferência ($C$): $N = \frac{d}{\pi \cdot D}$

Vamos aplicar essa ideia para cada ciclista. Note que, como queremos encontrar uma razão (divisão) entre duas quantidades proporcionais, não precisamos nos preocupar em converter as unidades de quilômetros para centímetros. Ao montarmos a fração final, as unidades iguais irão se cancelar.

Para o ciclista A:

• Distância percorrida: $d_A = 10 \text{ km}$
• Diâmetro da roda: $D_A = 60 \text{ cm}$ $N_A = \frac{10}{\pi \cdot 60}$

Para o ciclista B:

• Distância percorrida: $d_B = 5 \text{ km}$
• Diâmetro da roda: $D_B = 40 \text{ cm}$ $N_B = \frac{5}{\pi \cdot 40}$

A questão pede a relação entre o número de voltas do ciclista A e o do ciclista B, ou seja, a divisão $\frac{N_A}{N_B}$: $\frac{N_A}{N_B} = \frac{\frac{10}{\pi \cdot 60}}{\frac{5}{\pi \cdot 40}}$

Para resolver essa divisão de frações, conservamos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda: $\frac{N_A}{N_B} = \frac{10}{\pi \cdot 60} \cdot \frac{\pi \cdot 40}{5}$

Podemos simplificar a expressão cancelando o $\pi$ (o que mostra que a aproximação de $3,14$ dada no enunciado nem precisará ser usada) e reorganizando os números: $\frac{N_A}{N_B} = \frac{10}{5} \cdot \frac{40}{60}$

Agora, simplificamos as frações individualmente: $\frac{10}{5} = 2$ $\frac{40}{60} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Multiplicando os resultados obtidos: $\frac{N_A}{N_B} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Portanto, a relação procurada é $\frac{4}{3}$.